求正交变换=X,将二次型=X化为标准形。

步骤 1：确定二次型的矩阵
二次型$f=2{{x}_{1}}^{2}+3{{x}_{2}}^{2}+3{{x}_{3}}^{2}+4{x}_{2}{x}_{3}$的矩阵为
$$
A = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 2 \\
0 & 2 & 3
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：求矩阵A的特征值
计算矩阵$A$的特征值，即求解方程$|\lambda E-A|=0$，其中$E$是单位矩阵。
$$
|\lambda E-A| = \begin{vmatrix}
\lambda-2 & 0 & 0 \\
0 & \lambda-3 & -2 \\
0 & -2 & \lambda-3
\end{vmatrix} = (\lambda-2)(\lambda-3)^2-4(\lambda-3) = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-5)
$$
因此，矩阵$A$的特征值为$\lambda_1=1$，$\lambda_2=2$，$\lambda_3=5$。
步骤 3：求矩阵A的特征向量
对于每个特征值，求解方程$(\lambda E-A)X=0$，得到对应的特征向量。
对于$\lambda_1=1$，求解方程$(E-A)X=0$，得到特征向量$P_1=\begin{pmatrix}0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}$。
对于$\lambda_2=2$，求解方程$(2E-A)X=0$，得到特征向量$P_2=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$。
对于$\lambda_3=5$，求解方程$(5E-A)X=0$，得到特征向量$P_3=\begin{pmatrix}0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}$。
步骤 4：构造正交矩阵Q
将特征向量$P_1$，$P_2$，$P_3$作为列向量，构造正交矩阵$Q$。
$$
Q = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\
-\frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{pmatrix}
$$
步骤 5：求正交变换$AO=X$
经过正交变换$AO=X$，原二次型化为标准形${{y}_{1}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}+5{{y}_{3}}^{2}$。