题目
设函数(x)=dfrac ({e)^x-1}(x)，若当 x→0时，(x)=dfrac ({e)^x-1}(x)是(x)=dfrac ({e)^x-1}(x)的等价无穷小，则a、k的值依次为（） A . 2 , 1 B . 1 , 2 C . (x)=dfrac ({e)^x-1}(x), 1D . (x)=dfrac ({e)^x-1}(x), 2
设函数
，若当 x→0时，
是
的等价无穷小，则a、k的值依次为（）
A . 2 , 1
B . 1 , 2
C . 
, 1
D . , 2
题目解答
答案
∵当 x→0时，
∴
∴
∵是的等价无穷小
∴
∵
∴
，k-1=1，即k=2
故答案为：D。
解析
步骤 1：计算 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$
首先，我们需要计算函数$f(x)=\dfrac {{e}^{x}-1}{x}$在$x\rightarrow 0$时的极限。由于${e}^{x}-1$在$x\rightarrow 0$时与$x$是等价无穷小，即${e}^{x}-1\sim x$，因此$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-1}{x}=1$。
步骤 2：确定$f(x)-\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$的表达式
根据步骤1，我们得到$f(x)-\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=\dfrac {{e}^{x}-1}{x}-1$。由于${e}^{x}-1\sim x$，我们可以将$f(x)-\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$简化为$\dfrac {{e}^{x}-1-x}{x}$。
步骤 3：确定$a$和$k$的值
题目要求$f(x)-\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$是$a{x}^{k}$的等价无穷小，即$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-1-x}{a{x}^{k}}=1$。由于${e}^{x}-1-x$在$x\rightarrow 0$时与$\dfrac {1}{2}x^{2}$是等价无穷小，即${e}^{x}-1-x\sim \dfrac {1}{2}x^{2}$，因此$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-1-x}{a{x}^{k}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}x^{2}}{a{x}^{k}}=\dfrac {1}{2a}x^{2-k}$。为了使这个极限等于1，我们需要$2-k=0$，即$k=2$，同时$\dfrac {1}{2a}=1$，即$a=\dfrac {1}{2}$。
首先，我们需要计算函数$f(x)=\dfrac {{e}^{x}-1}{x}$在$x\rightarrow 0$时的极限。由于${e}^{x}-1$在$x\rightarrow 0$时与$x$是等价无穷小，即${e}^{x}-1\sim x$，因此$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-1}{x}=1$。
步骤 2：确定$f(x)-\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$的表达式
根据步骤1，我们得到$f(x)-\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=\dfrac {{e}^{x}-1}{x}-1$。由于${e}^{x}-1\sim x$，我们可以将$f(x)-\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$简化为$\dfrac {{e}^{x}-1-x}{x}$。
步骤 3：确定$a$和$k$的值
题目要求$f(x)-\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$是$a{x}^{k}$的等价无穷小，即$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-1-x}{a{x}^{k}}=1$。由于${e}^{x}-1-x$在$x\rightarrow 0$时与$\dfrac {1}{2}x^{2}$是等价无穷小，即${e}^{x}-1-x\sim \dfrac {1}{2}x^{2}$，因此$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-1-x}{a{x}^{k}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}x^{2}}{a{x}^{k}}=\dfrac {1}{2a}x^{2-k}$。为了使这个极限等于1，我们需要$2-k=0$，即$k=2$，同时$\dfrac {1}{2a}=1$，即$a=\dfrac {1}{2}$。