题目
L是圆周x^2+y^2=4，则int_(L)(x^2+y^2)ds=10pi. （）A. 错B. 对
L是圆周$x^{2}+y^{2}=4$，则$\int_{L}(x^{2}+y^{2})ds=10\pi.$ （）
A. 错
B. 对
题目解答
答案
A. 错
解析
步骤 1：参数化圆周
圆周 $x^2 + y^2 = 4$ 可以参数化为： \[ x = 2\cos t, \quad y = 2\sin t, \quad 0 \leq t \leq 2\pi. \]
步骤 2：计算弧长元素 $ds$
弧长元素 $ds$ 的公式是： \[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt. \] 对于我们的参数化，我们有： \[ \frac{dx}{dt} = -2\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 2\cos t. \] 因此， \[ ds = \sqrt{(-2\sin t)^2 + (2\cos t)^2} \, dt = \sqrt{4\sin^2 t + 4\cos^2 t} \, dt = \sqrt{4(\sin^2 t + \cos^2 t)} \, dt = \sqrt{4} \, dt = 2 \, dt. \]
步骤 3：计算曲线积分
现在，我们可以将曲线积分 $\int_{L}(x^2 + y^2)ds$ 转换为定积分： \[ \int_{L}(x^2 + y^2)ds = \int_{0}^{2\pi} (x(t)^2 + y(t)^2) \cdot ds = \int_{0}^{2\pi} (4\cos^2 t + 4\sin^2 t) \cdot 2 \, dt = \int_{0}^{2\pi} 4(\cos^2 t + \sin^2 t) \cdot 2 \, dt = \int_{0}^{2\pi} 4 \cdot 2 \, dt = \int_{0}^{2\pi} 8 \, dt. \] 这个定积分的值是： \[ \int_{0}^{2\pi} 8 \, dt = 8t \bigg|_{0}^{2\pi} = 8 \cdot 2\pi - 8 \cdot 0 = 16\pi. \]
圆周 $x^2 + y^2 = 4$ 可以参数化为： \[ x = 2\cos t, \quad y = 2\sin t, \quad 0 \leq t \leq 2\pi. \]
步骤 2：计算弧长元素 $ds$
弧长元素 $ds$ 的公式是： \[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt. \] 对于我们的参数化，我们有： \[ \frac{dx}{dt} = -2\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 2\cos t. \] 因此， \[ ds = \sqrt{(-2\sin t)^2 + (2\cos t)^2} \, dt = \sqrt{4\sin^2 t + 4\cos^2 t} \, dt = \sqrt{4(\sin^2 t + \cos^2 t)} \, dt = \sqrt{4} \, dt = 2 \, dt. \]
步骤 3：计算曲线积分
现在，我们可以将曲线积分 $\int_{L}(x^2 + y^2)ds$ 转换为定积分： \[ \int_{L}(x^2 + y^2)ds = \int_{0}^{2\pi} (x(t)^2 + y(t)^2) \cdot ds = \int_{0}^{2\pi} (4\cos^2 t + 4\sin^2 t) \cdot 2 \, dt = \int_{0}^{2\pi} 4(\cos^2 t + \sin^2 t) \cdot 2 \, dt = \int_{0}^{2\pi} 4 \cdot 2 \, dt = \int_{0}^{2\pi} 8 \, dt. \] 这个定积分的值是： \[ \int_{0}^{2\pi} 8 \, dt = 8t \bigg|_{0}^{2\pi} = 8 \cdot 2\pi - 8 \cdot 0 = 16\pi. \]