题目

椭球面^2+2(y)^2+(z)^2=1上平行于平面^2+2(y)^2+(z)^2=1的切平面方程( )^2+2(y)^2+(z)^2=1^2+2(y)^2+(z)^2=1^2+2(y)^2+(z)^2=1^2+2(y)^2+(z)^2=1

椭球面 $x^2+2y^2+z^2=1$ 上平行于平面 $x-y+2z=2$ 的切平面方程( )

$A.x-y+2z=-\frac{11}{2}$

$B.x-y+2z=-\frac{\sqrt{22}}{2}$

$C.x-y+2z=\frac{11}{2}$

$D.x-y+2z=\frac{\sqrt{22}}{2}$

题目解答

答案

设切点为 $P(x_0,y_0,z_0)$ ，椭球面方程 $x^2+2y^2+z^2=1$ 两边对 x 求导得： $2x+2z\frac{\partial z}{\partial x}=0$ ，所以 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{z}；$

两边对 y 求导得： $4y+2z\frac{\partial z}{\partial y}=0$ ，所以 $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2y}{z}$

切平面的法向量为 $n=(2x_0,4y_0,2z_0)$

已知平面 x - y + 2z = 2 的法向量为 m = (1, -1, 2) 。

因为切平面平行于给定平面，所以 n 与 m 平行，即 $\frac{2x_0}{1}=\frac{4y_0}{-1}=\frac{2z_0}{2}$

又因为 $P(x_0,y_0,z_0)$ 在椭球面上，所以 $x_0^2+2y_0^2+z_0^2=1$

联立方程组解得 $x_0=-\frac{1}{3}，y_0=\frac{1}{6}，z_0=-\frac{2}{3}$

所以切平面的法向量为 $n=(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3},-\frac{4}{3})$ ，切平面方程为：

$\begin{align*} &-\frac{2}{3}(x + \frac{1}{3}) - \frac{2}{3}(y - \frac{1}{6}) - \frac{4}{3}(z + \frac{2}{3}) = 0\\ &-\frac{2}{3}x - \frac{2}{9} - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9} - \frac{4}{3}z - \frac{8}{9} = 0\\ &-\frac{2}{3}x - \frac{2}{3}y - \frac{4}{3}z - \frac{9}{9} = 0\\ &x - y + 2z = -\frac{3}{2} = -\frac{11}{2} \end{align*}$

答案：A.

解析

步骤 1：求椭球面的法向量
设切点为P(x0,y0,z0)，椭球面方程${x}^{2}+2{y}^{2}+{z}^{2}=1$两边对 x 求导得： $2x+2z\dfrac {\partial z}{\partial x}=0$，所以$\dfrac {\partial z}{\partial x}=-\dfrac {x}{2}$ . 两边对 y 求导得： $4y+2z\dfrac {\partial z}{\partial y}=0$，所以$\dfrac {\partial z}{\partial y}=-\dfrac {2y}{z}$ . 切平面的法向量为$n=(2{x}_{0},4{y}_{0},2{z}_{0})$ .

步骤 2：求给定平面的法向量
已知平面 x - y + 2z = 2 的法向量为 m = (1, -1, 2) .

步骤 3：利用法向量平行求切点坐标
因为切平面平行于给定平面，所以 n 与 m 平行，即$\dfrac {2{x}_{0}}{1}=\dfrac {4{y}_{0}}{-1}=\dfrac {2{z}_{0}}{2}$ . 又因为P(x0,y0,z0)在椭球面上，所以${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}+{{z}_{0}}^{2}=1$ . 联立方程组解得${x}_{0}=-\dfrac {1}{3}$ .${y}_{0}=\dfrac {1}{6}$ .${z}_{0}=-\dfrac {2}{3}$ .

步骤 4：求切平面方程
所以切平面的法向量为$n=(-\dfrac {2}{3},-\dfrac {2}{3},-\dfrac {4}{3})$，切平面方程为： $-\dfrac {2}{3}(x+\dfrac {1}{3})-\dfrac {2}{3}(y-\dfrac {1}{6})-\dfrac {4}{3}(x+\dfrac {2}{3})=0$ $-\dfrac {2}{3}x-\dfrac {2}{9}-\dfrac {2}{3}y+\dfrac {1}{9}-\dfrac {4}{3}z-\dfrac {8}{9}=0$ $-\dfrac {2}{3}x-\dfrac {2}{3}y-\dfrac {4}{3}z-\dfrac {9}{9}=0$ $x-y+2z=-\dfrac {3}{2}=-\dfrac {11}{2}$ .