32.设 (x,y,z)=(x)^3-x(y)^2-z,-|||-P0(1,1,0), (-1,-1,1). 请将下列描述与正确结-|||-果相连-|||-第1组-|||-1. f(x,y,z)在点P(x,y,z)处的梯度为-|||-2.f(x,y,z)在P0处增加最快的方向为-|||-3.f(x,y,z)在M0处减少最快的方向为-|||-4.f(x,y,z)在Po向导数的最大值是-|||-第2组

本题考查多元函数的梯度及其应用，涉及以下核心知识点：

1. 梯度的定义：函数在某点的梯度是该点各偏导数组成的向量，即 $\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)$。
2. 梯度方向的意义：梯度方向是函数在该点增加最快的方向，而减少最快的方向是梯度的相反数。
3. 方向导数的最大值：方向导数的最大值等于梯度的模长。

1. 求 $f(x,y,z)$ 在任意点 $(x,y,z)$ 处的梯度

计算偏导数：

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - y^2$
• $\frac{\partial f}{\partial y} = -2xy$
• $\frac{\partial f}{\partial z} = -1$

因此，梯度为：
$\nabla f = \left( 3x^2 - y^2, \, -2xy, \, -1 \right)$

2. 求 $f$ 在 $P_0(1,1,0)$ 处增加最快的方向

将 $P_0$ 代入梯度表达式：
$\nabla f(1,1,0) = \left( 3(1)^2 - (1)^2, \, -2(1)(1), \, -1 \right) = (2, -2, -1)$
增加最快的方向即为该梯度向量本身。

3. 求 $f$ 在 $M_0(-1,-1,1)$ 处减少最快的方向

将 $M_0$ 代入梯度表达式：
$\nabla f(-1,-1,1) = \left( 3(-1)^2 - (-1)^2, \, -2(-1)(-1), \, -1 \right) = (2, -2, -1)$
减少最快的方向是梯度的相反数：
$-\nabla f(-1,-1,1) = (-2, 2, 1)$

4. 求 $f$ 在 $P_0$ 处方向导数的最大值

方向导数的最大值为梯度的模长：
$\|\nabla f(1,1,0)\| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$