题目
[例3]求极限 lim _(narrow infty )(int )_(0)^1(x)^nsqrt (1+{x)^2}dx.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分的上界
由于 $0 \leq x \leq 1$，我们有 $0 \leq x^n \leq 1$。因此，$0 \leq x^n \sqrt{1+x^2} \leq \sqrt{1+x^2}$。由于 $0 \leq x \leq 1$，我们有 $1 \leq 1+x^2 \leq 2$，从而 $\sqrt{1} \leq \sqrt{1+x^2} \leq \sqrt{2}$。因此，$0 \leq x^n \sqrt{1+x^2} \leq \sqrt{2}$。
步骤 2：应用积分的性质
由于 $0 \leq x^n \sqrt{1+x^2} \leq \sqrt{2}$，我们有 $0 \leq \int_{0}^{1} x^n \sqrt{1+x^2} dx \leq \int_{0}^{1} \sqrt{2} dx = \sqrt{2} \int_{0}^{1} dx = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$。
步骤 3：应用夹逼定理
由于 $0 \leq \int_{0}^{1} x^n \sqrt{1+x^2} dx \leq \sqrt{2} \int_{0}^{1} x^n dx$，我们有 $0 \leq \int_{0}^{1} x^n \sqrt{1+x^2} dx \leq \sqrt{2} \cdot \frac{1}{n+1}$。由于 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$，我们有 $\lim_{n \to \infty} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{n+1} = 0$。因此，根据夹逼定理，我们有 $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} x^n \sqrt{1+x^2} dx = 0$。
由于 $0 \leq x \leq 1$，我们有 $0 \leq x^n \leq 1$。因此，$0 \leq x^n \sqrt{1+x^2} \leq \sqrt{1+x^2}$。由于 $0 \leq x \leq 1$，我们有 $1 \leq 1+x^2 \leq 2$，从而 $\sqrt{1} \leq \sqrt{1+x^2} \leq \sqrt{2}$。因此，$0 \leq x^n \sqrt{1+x^2} \leq \sqrt{2}$。
步骤 2：应用积分的性质
由于 $0 \leq x^n \sqrt{1+x^2} \leq \sqrt{2}$，我们有 $0 \leq \int_{0}^{1} x^n \sqrt{1+x^2} dx \leq \int_{0}^{1} \sqrt{2} dx = \sqrt{2} \int_{0}^{1} dx = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$。
步骤 3：应用夹逼定理
由于 $0 \leq \int_{0}^{1} x^n \sqrt{1+x^2} dx \leq \sqrt{2} \int_{0}^{1} x^n dx$，我们有 $0 \leq \int_{0}^{1} x^n \sqrt{1+x^2} dx \leq \sqrt{2} \cdot \frac{1}{n+1}$。由于 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$，我们有 $\lim_{n \to \infty} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{n+1} = 0$。因此，根据夹逼定理，我们有 $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} x^n \sqrt{1+x^2} dx = 0$。