[例3]求极限 lim _(narrow infty )(int )_(0)^1(x)^nsqrt (1+{x)^2}dx.

考查要点：本题主要考查定积分的极限计算，涉及夹逼定理的应用，以及对积分中值定理适用条件的理解。

解题核心思路：
当$n \rightarrow \infty$时，被积函数$x^n$在区间$[0,1)$上迅速衰减为0，仅在$x=1$附近有显著贡献。但此处需结合$\sqrt{1+x^2}$的有界性，通过放缩法找到积分的上下界，进而利用夹逼定理求极限。

破题关键点：

1. 观察被积函数的衰减特性：$x^n$随$n$增大在$[0,1)$趋近于0，仅在$x=1$附近有非零值。
2. 利用$\sqrt{1+x^2}$的有界性：在$[0,1]$上，$\sqrt{1+x^2} \leq \sqrt{2}$，从而对积分进行放缩。
3. 夹逼定理的应用：通过上下界趋近于0，确定原积分的极限。

步骤1：确定被积函数的上界
在区间$[0,1]$上，$\sqrt{1+x^2} \leq \sqrt{2}$，因此：
$\int_{0}^{1} x^n \sqrt{1+x^2} \, dx \leq \sqrt{2} \int_{0}^{1} x^n \, dx.$

步骤2：计算右侧积分
直接积分得：
$\int_{0}^{1} x^n \, dx = \frac{1}{n+1}.$

步骤3：建立不等式关系
结合上述结果，有：
$0 \leq \int_{0}^{1} x^n \sqrt{1+x^2} \, dx \leq \frac{\sqrt{2}}{n+1}.$

步骤4：应用夹逼定理
当$n \rightarrow \infty$时，右侧$\frac{\sqrt{2}}{n+1} \rightarrow 0$，而左侧始终非负，故：
$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^n \sqrt{1+x^2} \, dx = 0.$