题目
例4 判断二次型-|||-((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=(x)_(1)^2+2(x)_(2)^2+4(x)_(3)^2+2(x)_(1)(x)_(2)+2(x)_(1)(x)_(3)-|||-是否为正定二次型.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定二次型矩阵
二次型 $f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})={x}_{1}^{2}+2{x}_{2}^{2}+4{x}_{3}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}+2{x}_{1}{x}_{3}$ 可以表示为 $f={x}^{T}Ax$，其中 $x=(x_1, x_2, x_3)^T$，$A$ 是二次型矩阵。根据二次型的系数，可以确定矩阵 $A$ 为：
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 4
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式
为了判断二次型是否为正定，需要计算矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式，并检查它们是否都大于零。
- 一阶主子式：$|1|=1>0$
- 二阶主子式：$\left|\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right|=1\cdot2-1\cdot1=2-1=1>0$
- 三阶主子式：$\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{matrix}\right|=1\cdot(2\cdot4-0\cdot0)-1\cdot(1\cdot4-0\cdot1)+1\cdot(1\cdot0-1\cdot2)=8-4-2=2>0$
步骤 3：判断二次型是否为正定
根据定理，如果矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式都大于零，则矩阵 $A$ 是正定的，对应的二次型也是正定的。由于我们已经验证了矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式都大于零，因此二次型 $f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})={x}_{1}^{2}+2{x}_{2}^{2}+4{x}_{3}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}+2{x}_{1}{x}_{3}$ 是正定二次型。
二次型 $f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})={x}_{1}^{2}+2{x}_{2}^{2}+4{x}_{3}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}+2{x}_{1}{x}_{3}$ 可以表示为 $f={x}^{T}Ax$，其中 $x=(x_1, x_2, x_3)^T$，$A$ 是二次型矩阵。根据二次型的系数，可以确定矩阵 $A$ 为：
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 4
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式
为了判断二次型是否为正定，需要计算矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式，并检查它们是否都大于零。
- 一阶主子式：$|1|=1>0$
- 二阶主子式：$\left|\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right|=1\cdot2-1\cdot1=2-1=1>0$
- 三阶主子式：$\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{matrix}\right|=1\cdot(2\cdot4-0\cdot0)-1\cdot(1\cdot4-0\cdot1)+1\cdot(1\cdot0-1\cdot2)=8-4-2=2>0$
步骤 3：判断二次型是否为正定
根据定理，如果矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式都大于零，则矩阵 $A$ 是正定的，对应的二次型也是正定的。由于我们已经验证了矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式都大于零，因此二次型 $f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})={x}_{1}^{2}+2{x}_{2}^{2}+4{x}_{3}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}+2{x}_{1}{x}_{3}$ 是正定二次型。