题目
(3)(1995，数一)已知A^-1BA=6A+overline(BA)，若A=}(1)/(3)&0&00&(1)/(4)&00&0&(1)/(7)，则B=____.
(3)(1995，数一)已知$A^{-1}BA=6A+\overline{BA}$，若$A=\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&0&0\\0&\frac{1}{4}&0\\0&0&\frac{1}{7}\end{bmatrix}$，则B=____.
题目解答
答案
由已知条件 $A^{-1}BA = 6A + BA$，可得
$$
(A^{-1} - E)BA = 6A \quad \Rightarrow \quad B = 6(A^{-1} - E)^{-1}.
$$
计算得
$$
A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}, \quad A^{-1} - E = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix},
$$
$$
(A^{-1} - E)^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{6} \end{bmatrix}.
$$
因此
$$
B = 6 \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = \boxed{\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}.
$$
解析
步骤 1：利用已知条件 $A^{-1}BA = 6A + BA$，进行变形
由已知条件 $A^{-1}BA = 6A + BA$，可得
$$ (A^{-1} - E)BA = 6A \quad \Rightarrow \quad B = 6(A^{-1} - E)^{-1}. $$
步骤 2：计算 $A^{-1}$
计算得
$$ A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}. $$
步骤 3：计算 $A^{-1} - E$
计算得
$$ A^{-1} - E = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}. $$
步骤 4：计算 $(A^{-1} - E)^{-1}$
计算得
$$ (A^{-1} - E)^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{6} \end{bmatrix}. $$
步骤 5：计算 B
因此
$$ B = 6 \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. $$
由已知条件 $A^{-1}BA = 6A + BA$，可得
$$ (A^{-1} - E)BA = 6A \quad \Rightarrow \quad B = 6(A^{-1} - E)^{-1}. $$
步骤 2：计算 $A^{-1}$
计算得
$$ A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}. $$
步骤 3：计算 $A^{-1} - E$
计算得
$$ A^{-1} - E = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}. $$
步骤 4：计算 $(A^{-1} - E)^{-1}$
计算得
$$ (A^{-1} - E)^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{6} \end{bmatrix}. $$
步骤 5：计算 B
因此
$$ B = 6 \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. $$