题目
[题目]求曲线( { ) (x)^2+(y)^2+(z)^2=6 x+y+z=0 . 在点 (1,-2,1) 处的切-|||-线及法平面方程.
题目解答
答案
最佳答案
解析
步骤 1：求导
对给定的方程 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=6$ 关于 $x$ 求导，得到 $2x+2yy'+2zz'=0$。这里 $y'$ 和 $z'$ 分别表示 $y$ 和 $z$ 对 $x$ 的导数。
步骤 2：代入点 $(1,-2,1)$
将点 $(1,-2,1)$ 代入导数方程中，得到 $2(1)+2(-2)y'+2(1)z'=0$，即 $2-4y'+2z'=0$。
步骤 3：求解切向量
从方程 $2-4y'+2z'=0$ 中解出 $y'$ 和 $z'$，得到 $y'=0$ 和 $z'=-1$。因此，切向量为 $\{1,0,-1\}$。
步骤 4：写出切线方程
根据切向量 $\{1,0,-1\}$ 和点 $(1,-2,1)$，写出切线方程为 $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{0}=\dfrac{z-1}{-1}$。
步骤 5：写出法平面方程
根据切向量 $\{1,0,-1\}$ 和点 $(1,-2,1)$，写出法平面方程为 $1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0$，即 $x-z=0$。
对给定的方程 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=6$ 关于 $x$ 求导，得到 $2x+2yy'+2zz'=0$。这里 $y'$ 和 $z'$ 分别表示 $y$ 和 $z$ 对 $x$ 的导数。
步骤 2：代入点 $(1,-2,1)$
将点 $(1,-2,1)$ 代入导数方程中，得到 $2(1)+2(-2)y'+2(1)z'=0$，即 $2-4y'+2z'=0$。
步骤 3：求解切向量
从方程 $2-4y'+2z'=0$ 中解出 $y'$ 和 $z'$，得到 $y'=0$ 和 $z'=-1$。因此，切向量为 $\{1,0,-1\}$。
步骤 4：写出切线方程
根据切向量 $\{1,0,-1\}$ 和点 $(1,-2,1)$，写出切线方程为 $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{0}=\dfrac{z-1}{-1}$。
步骤 5：写出法平面方程
根据切向量 $\{1,0,-1\}$ 和点 $(1,-2,1)$，写出法平面方程为 $1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0$，即 $x-z=0$。