题目
11.（填空题，5.0分）定积分int_(0)^(pi)/(4)sec^2xdx=
11.（填空题，5.0分）
定积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sec^{2}xdx=$
题目解答
答案
为了求解定积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx$，我们需要找到 $\sec^2 x$ 的原函数，然后在积分的上下限处求值。
首先，回忆一下 $\sec^2 x$ 的原函数是 $\tan x$。这是因为 $\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$。
所以，我们可以将定积分写为：
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx = \left[ \tan x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}
\]
接下来，我们需要在上限 $\frac{\pi}{4}$ 和下限 $0$ 处求 $\tan x$ 的值，然后将它们相减：
\[
\left[ \tan x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right) - \tan (0)
\]
我们知道 $\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$ 和 $\tan (0) = 0$。因此，我们有：
\[
\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) - \tan (0) = 1 - 0 = 1
\]
所以，定积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx$ 的值是 $\boxed{1}$。
解析
步骤 1：确定被积函数的原函数
$\sec^2 x$ 的原函数是 $\tan x$，因为 $\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$。
步骤 2：应用定积分的计算公式
根据定积分的计算公式，我们有 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx = \left[ \tan x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$。
步骤 3：计算定积分的值
将上下限代入原函数 $\tan x$，得到 $\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) - \tan (0)$。由于 $\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$ 和 $\tan (0) = 0$，所以定积分的值为 $1 - 0 = 1$。
$\sec^2 x$ 的原函数是 $\tan x$，因为 $\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$。
步骤 2：应用定积分的计算公式
根据定积分的计算公式，我们有 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x \, dx = \left[ \tan x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$。
步骤 3：计算定积分的值
将上下限代入原函数 $\tan x$，得到 $\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) - \tan (0)$。由于 $\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$ 和 $\tan (0) = 0$，所以定积分的值为 $1 - 0 = 1$。