题目
求下列极限：lim _(narrow infty )(2)^nsin dfrac (x)({2)^n}-|||-__（x为不等于零的常数）
求下列极限：
（x为不等于零的常数）
题目解答
答案
（x为不等于零的常数）
（上下同时乘以x）
（运用了
）
解析
步骤 1：将原式变形
原式可以写成$\lim _{n\rightarrow \infty }{2}^{n}\sin \dfrac {x}{{2}^{n}}$，为了利用$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$，我们考虑将$\sin \dfrac {x}{{2}^{n}}$与$\dfrac {x}{{2}^{n}}$相除，这样可以将原式变形为$x$乘以一个极限形式。
步骤 2：应用极限性质
将原式变形为$x\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sin \dfrac {x}{{2}^{n}}}{\dfrac {x}{{2}^{n}}}$，注意到当$n\rightarrow \infty$时，$\dfrac {x}{{2}^{n}}\rightarrow 0$，因此可以应用$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$。
步骤 3：计算极限
根据步骤2中的极限性质，$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sin \dfrac {x}{{2}^{n}}}{\dfrac {x}{{2}^{n}}}=1$，因此原式等于$x\times 1=x$。
原式可以写成$\lim _{n\rightarrow \infty }{2}^{n}\sin \dfrac {x}{{2}^{n}}$，为了利用$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$，我们考虑将$\sin \dfrac {x}{{2}^{n}}$与$\dfrac {x}{{2}^{n}}$相除，这样可以将原式变形为$x$乘以一个极限形式。
步骤 2：应用极限性质
将原式变形为$x\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sin \dfrac {x}{{2}^{n}}}{\dfrac {x}{{2}^{n}}}$，注意到当$n\rightarrow \infty$时，$\dfrac {x}{{2}^{n}}\rightarrow 0$，因此可以应用$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x}{x}=1$。
步骤 3：计算极限
根据步骤2中的极限性质，$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {\sin \dfrac {x}{{2}^{n}}}{\dfrac {x}{{2}^{n}}}=1$，因此原式等于$x\times 1=x$。