题目
微分方程dfrac (dy)(dx)=dfrac (y)(x+{y)^3}的通解为（）dfrac (dy)(dx)=dfrac (y)(x+{y)^3}
微分方程
的通解为（）
题目解答
答案
方程两边同时取倒数可得
，整理可得
根据一节线性微分方程通解公式可得
故答案选C.
解析
步骤 1：取倒数
方程$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {y}{x+{y}^{3}}$两边同时取倒数可得$\dfrac {dx}{dy}=\dfrac {x+{y}^{3}}{y}$。
步骤 2：整理方程
整理可得$\dfrac {dx}{dy}-\dfrac {1}{y}x={y}^{2}$。
步骤 3：应用一阶线性微分方程通解公式
根据一阶线性微分方程通解公式可得$x={e}^{-\int \dfrac {1}{y}dy}(\int {y}^{2}{e}^{\int \dfrac {1}{y}dy}dy+C)$。
步骤 4：计算积分
$x={e}^{\ln y}(\int {y}^{2}{e}^{-\ln y}dy+C)$ $=y(\int {y}^{2}\dfrac {1}{y}dy+C)$ $=y(\int ydy+C)$ $=y(\dfrac {1}{2}{y}^{2}+C)$ $=\dfrac {1}{2}{y}^{3}+Cy$。
方程$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {y}{x+{y}^{3}}$两边同时取倒数可得$\dfrac {dx}{dy}=\dfrac {x+{y}^{3}}{y}$。
步骤 2：整理方程
整理可得$\dfrac {dx}{dy}-\dfrac {1}{y}x={y}^{2}$。
步骤 3：应用一阶线性微分方程通解公式
根据一阶线性微分方程通解公式可得$x={e}^{-\int \dfrac {1}{y}dy}(\int {y}^{2}{e}^{\int \dfrac {1}{y}dy}dy+C)$。
步骤 4：计算积分
$x={e}^{\ln y}(\int {y}^{2}{e}^{-\ln y}dy+C)$ $=y(\int {y}^{2}\dfrac {1}{y}dy+C)$ $=y(\int ydy+C)$ $=y(\dfrac {1}{2}{y}^{2}+C)$ $=\dfrac {1}{2}{y}^{3}+Cy$。