5..根据函数极限的定义证明lim _(xarrow 3)(3x-1)=8.

考查要点：本题主要考查利用函数极限的定义进行严格证明的能力，需要掌握如何通过不等式变形找到合适的$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，$|f(x)-A|<\varepsilon$成立。

解题核心思路：

1. 明确极限定义：根据定义，对任意给定的$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得当$0<|x-3|<\delta$时，$|3x-1-8|<\varepsilon$。
2. 不等式变形：将$|3x-9|$转化为与$|x-3|$相关的表达式，建立$\varepsilon$与$\delta$的关系。
3. 确定$\delta$的取法：通过变形得到$|x-3|<\frac{\varepsilon}{3}$，从而选择$\delta=\frac{\varepsilon}{3}$。

破题关键点：

• 正确展开并简化表达式：将$|3x-1-8|$化简为$3|x-3|$。
• 建立$\delta$与$\varepsilon$的对应关系：通过不等式变形，明确$\delta$的取值方式。

步骤1：写出函数极限的定义
根据极限定义，对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，当$0<|x-3|<\delta$时，有：
$|3x-1-8| < \varepsilon$

步骤2：化简不等式
将$|3x-1-8|$展开并化简：
$\begin{aligned}|3x-1-8| &= |3x-9| \\&= 3|x-3|\end{aligned}$

步骤3：建立$\delta$与$\varepsilon$的关系
要求$3|x-3| < \varepsilon$，两边同时除以3得：
$|x-3| < \frac{\varepsilon}{3}$

步骤4：确定$\delta$的取值
令$\delta = \frac{\varepsilon}{3}$，则当$0<|x-3|<\delta$时，有：
$3|x-3| < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$

结论：
对于任意$\varepsilon>0$，取$\delta = \frac{\varepsilon}{3}$，即可保证当$0<|x-3|<\delta$时，$|3x-1-8|<\varepsilon$，从而$\lim_{x \to 3} (3x-1) = 8$。