求 lim _(xarrow 1)dfrac (2x-3)({x)^2-5x+4}

考查要点：本题主要考查分式函数在分母趋近于0时的极限求解方法，以及无穷小与无穷大关系的应用。

解题核心思路：
当直接代入导致分母为0时，需分析分母和分子的趋近趋势。若分母趋近于0而分子趋近于非零常数，则分式的极限可能为无穷大或负无穷大。通过倒数法（即先求分母与分子的比值的极限）可以快速判断原式的极限性质。

破题关键点：

1. 因式分解分母，观察分母在$x \rightarrow 1$时的趋近方向。
2. 计算倒数形式的极限，若结果为0，则原式的极限为无穷大。

步骤1：分析分母和分子的极限
当$x \rightarrow 1$时：

• 分子：$2x - 3 \rightarrow 2 \cdot 1 - 3 = -1$（非零常数）。
• 分母：$x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) \rightarrow 0$（因式分解后，分母趋近于0）。

步骤2：应用倒数法
考虑倒数形式的极限：
$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 - 5x + 4}{2x - 3} = \frac{0}{-1} = 0$
根据定理（无穷小与无穷大的关系），若$\lim \frac{\text{分母}}{\text{分子}} = 0$，则$\lim \frac{\text{分子}}{\text{分母}} = \infty$。

步骤3：确定符号与结论
分母$(x-1)(x-4)$在$x \rightarrow 1$时：

• 从右侧趋近（$x > 1$）：分母为负，分子为负，分式为正无穷大。
• 从左侧趋近（$x < 1$）：分母为正，分子为负，分式为负无穷大。
  由于左右极限符号不同，严格来说极限不存在。但题目中根据定理直接判定为无穷大（通常指绝对值趋向无穷大）。