题目
2.设D |x|+|y|leqslant 1, 则 iint (|x|+y)dxdy= () .-|||-(A)0 (B) dfrac (1)(3) (C) dfrac (2)(3) (D)1
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域D
D由不等式 $|x|+|y|\leqslant 1$ 定义，这是一个以原点为中心，边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形区域，其顶点为 $(\pm1,0)$ 和 $(0,\pm1)$。
步骤 2：利用对称性简化积分
由于D关于x轴、y轴对称，二重积分 $\iint_{D}(|x|+y)dxdy$ 可以分解为 $\iint_{D}|x|dxdy$ 和 $\iint_{D}ydxdy$。其中，$\iint_{D}ydxdy$ 由于y的奇偶性，其在D上的积分为0。因此，原积分简化为 $2\iint_{D_{1}}|x|dxdy$，其中D1为D在第一象限的部分。
步骤 3：计算简化后的积分
D1由不等式 $0\leqslant x\leqslant 1$ 和 $0\leqslant y\leqslant 1-x$ 定义。因此，原积分变为 $2\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}xdy$。计算内层积分得到 $2\int_{0}^{1}x(1-x)dx$。计算外层积分得到 $2\int_{0}^{1}(x-x^2)dx = 2\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = 2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$。
D由不等式 $|x|+|y|\leqslant 1$ 定义，这是一个以原点为中心，边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形区域，其顶点为 $(\pm1,0)$ 和 $(0,\pm1)$。
步骤 2：利用对称性简化积分
由于D关于x轴、y轴对称，二重积分 $\iint_{D}(|x|+y)dxdy$ 可以分解为 $\iint_{D}|x|dxdy$ 和 $\iint_{D}ydxdy$。其中，$\iint_{D}ydxdy$ 由于y的奇偶性，其在D上的积分为0。因此，原积分简化为 $2\iint_{D_{1}}|x|dxdy$，其中D1为D在第一象限的部分。
步骤 3：计算简化后的积分
D1由不等式 $0\leqslant x\leqslant 1$ 和 $0\leqslant y\leqslant 1-x$ 定义。因此，原积分变为 $2\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}xdy$。计算内层积分得到 $2\int_{0}^{1}x(1-x)dx$。计算外层积分得到 $2\int_{0}^{1}(x-x^2)dx = 2\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = 2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$。