按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数.(1) 2134;(2) 4132;(3) 3421;(4) 4213;(5) 13...(2n-1)24...(2n);(6) (13...(2n-1)(2n)(2n-2)...2).

我们来逐题分析并计算每个排列的逆序数。

定义回顾：

在一个排列中，若前面的数比后面的数大，则这对数构成一个逆序。
逆序数就是这个排列中所有逆序对的个数。

（1）排列：2134

我们逐个数检查其后面比它小的数的个数：

• 2 后面有 1，构成一个逆序；
• 1 后面没有比它小的数；
• 3 后面没有比它小的数；
• 4 后面没有数。

逆序数：1

（2）排列：4132

逐个检查：

• 4 后面有 1、3、2，都比 4 小，构成 3 个逆序；
• 1 后面没有比它小的数；
• 3 后面有 2，构成 1 个逆序；
• 2 后面没有数。

逆序数：3 + 1 = 4

（3）排列：3421

逐个检查：

• 3 后面有 2、1，构成 2 个逆序；
• 4 后面有 2、1，构成 2 个逆序；
• 2 后面有 1，构成 1 个逆序；
• 1 后面没有数。

逆序数：2 + 2 + 1 = 5

（4）排列：4213

逐个检查：

• 4 后面有 2、1、3，都比 4 小，构成 3 个逆序；
• 2 后面有 1，构成 1 个逆序；
• 1 后面没有比它小的数；
• 3 后面没有数。

逆序数：3 + 1 = 4

（5）排列：$1\ 3\ \cdots\ (2n-1)\ 2\ 4\ \cdots\ 2n$

这是一个奇数在前、偶数在后的排列，例如当 $n = 3$ 时，排列为：1 3 5 2 4 6

我们来分析一般情况：

• 前 $n$ 个数是奇数：1, 3, 5, ..., $2n-1$
• 后 $n$ 个数是偶数：2, 4, 6, ..., $2n$

现在我们来计算奇数后面比它小的偶数的个数：

对于每个奇数 $2k-1$，它后面有 $n - k$ 个偶数比它小（因为偶数从小到大排列，比 $2k-1$ 小的偶数是 $2, 4, ..., 2(k-1)$，共 $k-1$ 个，所以比它大的偶数是 $n - (k-1) = n - k + 1$）

不过更简单的方法是：
每个奇数后面有 $n$ 个偶数，其中比它小的偶数有 $k-1$ 个，所以比它大的偶数是 $n - (k-1) = n - k + 1$

所以总逆序数是：

$\sum_{k=1}^{n} (n - k + 1) = \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

逆序数：$\boxed{\frac{n(n+1)}{2}}$

（6）排列：$(1\ 3\ \cdots\ (2n-1)\ (2n)\ (2n-2)\ \cdots\ 2)$

这个排列是：

• 前 $n$ 个数是奇数：1, 3, 5, ..., $2n-1$
• 后 $n$ 个数是偶数，但按从大到小排列：$2n, 2n-2, ..., 2$

我们来分析逆序数：

• 奇数部分：1, 3, 5, ..., $2n-1$，这部分是升序，没有逆序；
• 偶数部分：$2n, 2n-2, ..., 2$，这部分是降序，每一对都构成逆序，共有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个；
• 奇数与偶数之间：每个奇数 $2k-1$ 后面有 $n$ 个偶数，其中比它大的偶数有 $n - k$ 个（因为偶数从大到小排列，前 $k$ 个偶数小于等于 $2k-1$）

所以奇偶之间的逆序数是：

$\sum_{k=1}^{n} (n - k) = \sum_{i=0}^{n-1} i = \frac{(n-1)n}{2}$

偶数内部逆序数是：$\frac{n(n-1)}{2}$

所以总逆序数是：

$\frac{(n-1)n}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$

逆序数：$\boxed{n(n-1)}$

总结答案：

题号	排列	逆序数
(1)	2134	1
(2)	4132	4
(3)	3421	5
(4)	4213	4
(5)	$1\ 3\ \cdots\ (2n-1)\ 2\ 4\ \cdots\ 2n$	$\boxed{\frac{n(n+1)}{2}}$
(6)	$1\ 3\ \cdots\ (2n-1)\ 2n\ (2n-2)\ \cdots\ 2$	$\boxed{n(n-1)}$

如有需要，我也可以画出逆序对的详细分析图。