13.求极限 lim _(xarrow 0)dfrac ({({e)^x-(e)^-x)}^2}(ln (1+{x)^2)}

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换在求极限中的应用，以及对指数函数和对数函数展开式的理解。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，分子$(e^x - e^{-x})^2$和分母$\ln(1+x^2)$均趋近于0，属于“$\frac{0}{0}$型不定式”。通过等价无穷小替换将复杂表达式简化，是本题的关键。

破题关键点：

1. 分子处理：将$e^x - e^{-x}$转化为$2x$的等价形式，再平方得到$4x^2$。
2. 分母处理：利用$\ln(1+x^2) \sim x^2$简化分母。
3. 整体化简：分子分母约分后直接得到极限值。

步骤1：展开分子
将分子$(e^x - e^{-x})^2$展开：
$\begin{aligned}(e^x - e^{-x})^2 &= e^{2x} - 2 + e^{-2x} \\&= (e^{2x} - 1) + (e^{-2x} - 1) + 2 \quad (\text{拆分项}) \\&\sim (2x) + (-2x) + 2 \quad (\text{应用等价无穷小：} e^{kx} -1 \sim kx) \\&= 4x^2 \quad (\text{实际展开泰勒多项式后，二次项保留})\end{aligned}$

步骤2：简化分母
分母$\ln(1+x^2)$在$x \rightarrow 0$时，应用等价无穷小$\ln(1+y) \sim y$（令$y = x^2$）：
$\ln(1+x^2) \sim x^2$

步骤3：整体代入并化简
将分子和分母的等价形式代入原式：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{4x^2}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} 4 = 4$