题目
13.求极限 lim _(xarrow 0)dfrac ({({e)^x-(e)^-x)}^2}(ln (1+{x)^2)}
题目解答
答案
解析
步骤 1：使用等价无穷小替换
在极限计算中，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，可以使用等价无穷小替换来简化计算。对于 $e^x - 1$ 和 $\ln(1+x)$，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，它们分别与 $x$ 等价。因此，我们可以将 $e^x - e^{-x}$ 替换为 $2x$，将 $\ln(1+x^2)$ 替换为 $x^2$。
步骤 2：替换并简化表达式
将 $e^x - e^{-x}$ 替换为 $2x$，将 $\ln(1+x^2)$ 替换为 $x^2$，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{({e}^{x}-{e}^{-x})}^{2}}{\ln (1+{x}^{2})} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{(2x)}^{2}}{x^2}$$
步骤 3：计算极限
计算得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{(2x)}^{2}}{x^2} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4x^2}{x^2} = \lim _{x\rightarrow 0}4 = 4$$
在极限计算中，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，可以使用等价无穷小替换来简化计算。对于 $e^x - 1$ 和 $\ln(1+x)$，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，它们分别与 $x$ 等价。因此，我们可以将 $e^x - e^{-x}$ 替换为 $2x$，将 $\ln(1+x^2)$ 替换为 $x^2$。
步骤 2：替换并简化表达式
将 $e^x - e^{-x}$ 替换为 $2x$，将 $\ln(1+x^2)$ 替换为 $x^2$，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{({e}^{x}-{e}^{-x})}^{2}}{\ln (1+{x}^{2})} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{(2x)}^{2}}{x^2}$$
步骤 3：计算极限
计算得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{(2x)}^{2}}{x^2} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4x^2}{x^2} = \lim _{x\rightarrow 0}4 = 4$$