过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形D. (3)求 D 的面积 A ； (4)求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V.

步骤 1：求切线方程
设切点的横坐标为 \(x_0\)，则曲线 \(y=\ln x\) 在点 \((x_0,\ln x_0)\) 处的切线斜率为 \(y'=\frac{1}{x}\) 在 \(x=x_0\) 处的值，即 \(\frac{1}{x_0}\)。因此，切线方程为：
\[y-\ln x_0=\frac{1}{x_0}(x-x_0)\]
由于该切线过原点，代入 \(x=0, y=0\)，得到：
\[-\ln x_0=-1\]
从而 \(x_0=e\)，代入切线方程得到切线方程为：
\[y=\frac{1}{e}x\]

步骤 2：求平面图形D的面积A
平面图形D的面积A可以通过积分求得，积分区间为从0到e，被积函数为切线方程与曲线方程之差，即：
\[A=\int_{0}^{e}(\frac{1}{e}x-\ln x)dx\]
\[=\left[\frac{1}{2e}x^2-x\ln x+x\right]_{0}^{e}\]
\[=\frac{1}{2}e-\ln e+1\]
\[=\frac{1}{2}e-1+1\]
\[=\frac{1}{2}e\]

步骤 3：求旋转体的体积V
旋转体的体积V可以通过旋转体的体积公式求得，积分区间为从0到e，被积函数为切线方程与曲线方程之差的平方，即：
\[V=\pi\int_{0}^{e}(\frac{1}{e}x-\ln x)^2dx\]
\[=\pi\int_{0}^{e}(\frac{1}{e^2}x^2-2\frac{1}{e}x\ln x+(\ln x)^2)dx\]
\[=\pi\left[\frac{1}{3e^2}x^3-\frac{1}{e}x^2\ln x+\frac{1}{e}x^2-\frac{1}{2}x^2(\ln x)^2+\frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{4}x^2\right]_{0}^{e}\]
\[=\pi\left(\frac{1}{3}e-\frac{1}{2}e+\frac{1}{4}e\right)\]
\[=\frac{\pi}{12}e\]