已知 f(x)= } 2x, & 0 < x < 1 0, & (其它) 为某随机变量X的概率密度函数，令Y=3X+1，则Y的概率密度为()。 A. f(y)= } (2(y-1))/(3), & 1 < y < 4 0, & (其它) B. f(y)= } (y-1)/(9), & 1 < y < 4 0, & (其它) C. f(y)= } (y-1)/(3), & 1 < y < 4 0, & (其它) D. f(y)= } (2(y-1))/(9), & 1 < y < 4 0, & (其它)

为了找到随机变量 $ Y = 3X + 1 $ 的概率密度函数，已知 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其它} \end{cases} $，我们可以使用随机变量变换的方法。该方法涉及找到 $ Y $ 的累积分布函数（CDF），然后对它求导以得到 $ Y $ 的概率密度函数（PDF）。 ### 第1步：找到 $ Y $ 的累积分布函数（CDF） $ Y $ 的CDF，记为 $ F_Y(y) $，由下式给出： \[ F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(3X + 1 \leq y) = P\left(X \leq \frac{y-1}{3}\right) \] ### 第2步：用 $ X $ 的CDF表示 $ F_Y(y) $ $ X $ 的CDF，记为 $ F_X(x) $，由下式给出： \[ F_X(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt \] 对于 $ 0 < x < 1 $， \[ F_X(x) = \int_0^x 2t \, dt = \left[ t^2 \right]_0^x = x^2 \] 对于 $ x \leq 0 $ 或 $ x \geq 1 $，$ F_X(x) $ 分别为 0 或 1。因此， \[ F_Y(y) = \begin{cases} 0, & \frac{y-1}{3} \leq 0 \\ \left( \frac{y-1}{3} \right)^2, & 0 < \frac{y-1}{3} < 1 \\ 1, & \frac{y-1}{3} \geq 1 \end{cases} \] 简化条件，我们得到： \[ F_Y(y) = \begin{cases} 0, & y \leq 1 \\ \left( \frac{y-1}{3} \right)^2, & 1 < y < 4 \\ 1, & y \geq 4 \end{cases} \] ### 第3步：对 $ F_Y(y) $ 求导以得到 $ Y $ 的PDF $ Y $ 的PDF，记为 $ f_Y(y) $，是 $ F_Y(y) $ 的导数： \[ f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \begin{cases} 0, & y \leq 1 \\ \frac{d}{dy} \left( \frac{y-1}{3} \right)^2, & 1 < y < 4 \\ 0, & y \geq 4 \end{cases} \] 计算导数，我们得到： \[ \frac{d}{dy} \left( \frac{y-1}{3} \right)^2 = 2 \left( \frac{y-1}{3} \right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2(y-1)}{9} \] 因此，$ Y $ 的PDF为： \[ f_Y(y) = \begin{cases} \frac{2(y-1)}{9}, & 1 < y < 4 \\ 0, & \text{其它} \end{cases} \] ### 结论 正确答案是： \[ \boxed{D} \]