题目
12.设 ^k=0(k 为正整数),证明 ((E-A))^-1=E+A+(A)^2+... +(A)^|-1
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义和假设
设矩阵 $A$ 满足 ${A}^{k}=O$，其中 $k$ 是正整数，$O$ 是零矩阵。我们需要证明 ${(E-A)}^{-1}=E+A+{A}^{2}+\cdots +{A}^{k-1}$，其中 $E$ 是单位矩阵。
步骤 2：计算 $(E-A)(E+A+{A}^{2}+\cdots +{A}^{k-1})$
计算 $(E-A)(E+A+{A}^{2}+\cdots +{A}^{k-1})$ 的结果，以验证它是否等于单位矩阵 $E$。
\[
(E-A)(E+A+{A}^{2}+\cdots +{A}^{k-1}) = E + A + {A}^{2} + \cdots + {A}^{k-1} - A - {A}^{2} - \cdots - {A}^{k-1} - {A}^{k}
\]
由于 ${A}^{k}=O$，所以 ${A}^{k}$ 项为零矩阵，因此上式简化为：
\[
E + A + {A}^{2} + \cdots + {A}^{k-1} - A - {A}^{2} - \cdots - {A}^{k-1} = E
\]
步骤 3：结论
由于 $(E-A)(E+A+{A}^{2}+\cdots +{A}^{k-1})=E$，根据矩阵乘法的性质，可以得出 $(E-A)$ 可逆，并且其逆矩阵为 $E+A+{A}^{2}+\cdots +{A}^{k-1}$。
设矩阵 $A$ 满足 ${A}^{k}=O$，其中 $k$ 是正整数，$O$ 是零矩阵。我们需要证明 ${(E-A)}^{-1}=E+A+{A}^{2}+\cdots +{A}^{k-1}$，其中 $E$ 是单位矩阵。
步骤 2：计算 $(E-A)(E+A+{A}^{2}+\cdots +{A}^{k-1})$
计算 $(E-A)(E+A+{A}^{2}+\cdots +{A}^{k-1})$ 的结果，以验证它是否等于单位矩阵 $E$。
\[
(E-A)(E+A+{A}^{2}+\cdots +{A}^{k-1}) = E + A + {A}^{2} + \cdots + {A}^{k-1} - A - {A}^{2} - \cdots - {A}^{k-1} - {A}^{k}
\]
由于 ${A}^{k}=O$，所以 ${A}^{k}$ 项为零矩阵，因此上式简化为：
\[
E + A + {A}^{2} + \cdots + {A}^{k-1} - A - {A}^{2} - \cdots - {A}^{k-1} = E
\]
步骤 3：结论
由于 $(E-A)(E+A+{A}^{2}+\cdots +{A}^{k-1})=E$，根据矩阵乘法的性质，可以得出 $(E-A)$ 可逆，并且其逆矩阵为 $E+A+{A}^{2}+\cdots +{A}^{k-1}$。