证明(x,y)=(x)^3-6(x)^2y-3x(y)^2+2(y)^3为调和函数，并求其共轭调和函数. A (x,y)=(x)^3-6(x)^2y-3x(y)^2+2(y)^3 . B (x,y)=(x)^3-6(x)^2y-3x(y)^2+2(y)^3 . C (x,y)=(x)^3-6(x)^2y-3x(y)^2+2(y)^3 . D (x,y)=(x)^3-6(x)^2y-3x(y)^2+2(y)^3.

步骤 1：计算$x(x,y)$的二阶偏导数
首先，我们计算$x(x,y)={x}^{3}-6{x}^{2}y-3x{y}^{2}+2{y}^{3}$的二阶偏导数。首先计算一阶偏导数：
$\dfrac {\partial u}{\partial x}=3{x}^{2}-12xy-3{y}^{2}$
$\dfrac {\partial u}{\partial y}=-6{x}^{2}-6xy+6{y}^{2}$
然后计算二阶偏导数：
$\dfrac {{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}}=6x-12y$
$\dfrac {{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}}=-6x+12y$
步骤 2：验证$x(x,y)$是否为调和函数
根据调和函数的定义，如果一个函数的拉普拉斯算子为零，即$\dfrac {{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}}+\dfrac {{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}}=0$，则该函数为调和函数。将上面计算的二阶偏导数代入，我们得到：
$\dfrac {{\partial }^{2}u}{\partial {x}^{2}}+\dfrac {{\partial }^{2}u}{\partial {y}^{2}}=6x-12y-6x+12y=0$
因此，$x(x,y)={x}^{3}-6{x}^{2}y-3x{y}^{2}+2{y}^{3}$为调和函数。
步骤 3：求共轭调和函数
设共轭调和函数为$(x,y)$，则根据共轭调和函数的定义，我们有：
$\dfrac {\partial v}{\partial x}=-\dfrac {\partial u}{\partial y}=6{x}^{2}+6xy-6{y}^{2}$
$\dfrac {\partial v}{\partial y}=\dfrac {\partial u}{\partial x}=3{x}^{2}-12xy-3{y}^{2}$
将$\dfrac {\partial v}{\partial x}$对$x$积分，得到：
$(x,y)=2{x}^{3}+3{x}^{2}y-6x{y}^{2}+c(y)$
其中$c(y)$是关于$y$的函数。然后，将$(x,y)$对$y$求导，得到：
$\dfrac {\partial v}{\partial y}=3{x}^{2}-12xy+c'(y)$
将$\dfrac {\partial v}{\partial y}$代入$\dfrac {\partial v}{\partial y}=\dfrac {\partial u}{\partial x}$，得到：
$3{x}^{2}-12xy+c'(y)=3{x}^{2}-12xy-3{y}^{2}$
解得$c'(y)=-3{y}^{2}$，因此$c(y)=-{y}^{3}+C$，其中$C$是常数。所以，共轭调和函数为：
$(x,y)=2{x}^{3}+3{x}^{2}y-6x{y}^{2}-{y}^{3}+C$