证明(x,y)=(x)^3-6(x)^2y-3x(y)^2+2(y)^3为调和函数，并求其共轭调和函数. A (x,y)=(x)^3-6(x)^2y-3x(y)^2+2(y)^3 . B (x,y)=(x)^3-6(x)^2y-3x(y)^2+2(y)^3 . C (x,y)=(x)^3-6(x)^2y-3x(y)^2+2(y)^3 . D (x,y)=(x)^3-6(x)^2y-3x(y)^2+2(y)^3.

调和函数的定义是满足拉普拉斯方程$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$的函数。共轭调和函数需满足柯西-黎曼方程，通过偏导数关系联立求解。

关键步骤：

1. 验证调和性：计算二阶偏导数并验证拉普拉斯方程。
2. 求共轭函数：利用柯西-黎曼方程，对偏导数积分并确定积分常数。

验证调和性

1. 计算一阶偏导数：

   • $\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 - 12xy - 3y^2$
   • $\frac{\partial u}{\partial y} = -6x^2 - 6xy + 6y^2$

2. 计算二阶偏导数：

   • $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 6x - 12y$
   • $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -6x + 12y$

3. 验证拉普拉斯方程：
   $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = (6x - 12y) + (-6x + 12y) = 0$
   因此，$u(x,y)$是调和函数。

求共轭调和函数$v(x,y)$

1. 根据柯西-黎曼方程：

   • $\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} = 6x^2 + 6xy - 6y^2$
   • $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 - 12xy - 3y^2$

2. 对$\frac{\partial v}{\partial x}$积分：
   $v(x,y) = \int (6x^2 + 6xy - 6y^2) \, dx = 2x^3 + 3x^2y - 6xy^2 + C(y)$

3. 对$y$求导并代入$\frac{\partial v}{\partial y}$：
   $\frac{\partial v}{\partial y} = 3x^2 - 12xy + C'(y) = 3x^2 - 12xy - 3y^2$
   解得：
   $C'(y) = -3y^2 \quad \Rightarrow \quad C(y) = -y^3 + C$

4. 最终共轭调和函数：
   $v(x,y) = 3x^2y - 6xy^2 - y^3 + 2x^3 + C$