题目
设 是平面被椭圆柱面所截下的部分,则
设 
是平面
被椭圆柱面
所截下的部分,则
题目解答
答案
解：
首先，将椭圆柱面方程化为参数形式：
其中 
。
曲面元素
可以用如下公式计算：
其中
是曲面的参数方程，
。
在本题中，
，因此：
所以 
计算积分：
先计算
积分：
最后计算
积分：
因此，正确答案为 
解析
步骤 1：参数化椭圆柱面
将椭圆柱面方程化为参数形式：
$x=\cos (t)$ $y=1+\sin (t)$ $z=1-x=1-\cos (t)$
其中 $0\leqslant t\leqslant 2\pi $。
步骤 2：计算曲面元素dS
曲面元素dS 可以用如下公式计算：
$dS=||rr\times rs||dtss$
其中r(t,s)是曲面的参数方程，$rt=\dfrac {\partial r}{\partial t}$ , ${r}_{s}=\dfrac {\partial r}{\partial s}$。
在本题中，$f(t,s)=(\cos (t),1+\sin (t),1-\cos (t))$，因此：
${\rho }_{t}=(-\sin (t),\cos (t),\sin (t))$ ,${r}_{s}=(0,0,0)$
所以 $d.S=$ ||rt×rs||dtds=||(-sin(t),cos(t) $,\sin (t))\times (0,0,0)||dtds=\sqrt {2}dtds$
步骤 3：计算积分
先计算积分：
${\int }_{0}^{2\pi }(\cos (t)+1+\sin (t)+\sqrt {2}at=[ \sin (t)+t+\cos (t)+\sqrt {2}] $
最后计算。 积分：
${\int }_{0}^{1}2\pi \sqrt {2}ds=2\pi \sqrt {2}$
将椭圆柱面方程化为参数形式：
$x=\cos (t)$ $y=1+\sin (t)$ $z=1-x=1-\cos (t)$
其中 $0\leqslant t\leqslant 2\pi $。
步骤 2：计算曲面元素dS
曲面元素dS 可以用如下公式计算：
$dS=||rr\times rs||dtss$
其中r(t,s)是曲面的参数方程，$rt=\dfrac {\partial r}{\partial t}$ , ${r}_{s}=\dfrac {\partial r}{\partial s}$。
在本题中，$f(t,s)=(\cos (t),1+\sin (t),1-\cos (t))$，因此：
${\rho }_{t}=(-\sin (t),\cos (t),\sin (t))$ ,${r}_{s}=(0,0,0)$
所以 $d.S=$ ||rt×rs||dtds=||(-sin(t),cos(t) $,\sin (t))\times (0,0,0)||dtds=\sqrt {2}dtds$
步骤 3：计算积分
先计算积分：
${\int }_{0}^{2\pi }(\cos (t)+1+\sin (t)+\sqrt {2}at=[ \sin (t)+t+\cos (t)+\sqrt {2}] $
最后计算。 积分：
${\int }_{0}^{1}2\pi \sqrt {2}ds=2\pi \sqrt {2}$