题目

确定函数=ln (x+sqrt (1+{x)^2})的单调区间。

确定函数 $y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$ 的单调区间。

题目解答

答案

对于函数 $f\left(x\right)$ ，当 $f'\left(x\right)>0$ 时，函数为单调递增，当 $f'\left(x\right)<0$ 时，函数为单调递减。因为函数 $y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$ ，可知 $x+\sqrt{1+x^2}>0$ ，因此函数的定义域为 $\left(-\infty,+\infty\right)$ ，而 $y'=\frac{(x+\sqrt{1+x^2})'}{x+\sqrt{1+x^2})}$

$=\frac{1+2x\times\frac{1}{2}\left(1+x^2\right)^{-\frac{1}{2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}$

$=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ ，因为 $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}>0$ ，故 $f'\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,+\infty\right)$ 上为单调递增。

解析

步骤 1：求导
首先，我们需要求出函数$y=\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$的导数。根据链式法则，我们有：
$y'=\dfrac {(x+\sqrt {1+{x}^{2}})'}{x+\sqrt {1+{x}^{2}}}$
步骤 2：计算导数
计算导数的分子部分，我们得到：
$(x+\sqrt {1+{x}^{2}})'=1+\dfrac {x}{\sqrt {1+{x}^{2}}}$
因此，函数的导数为：
$y'=\dfrac {1+\dfrac {x}{\sqrt {1+{x}^{2}}}}{x+\sqrt {1+{x}^{2}}}$
步骤 3：简化导数
进一步简化导数，我们得到：
$y'=\dfrac {1}{\sqrt {1+{x}^{2}}}$
步骤 4：确定单调区间
由于$\sqrt {1+{x}^{2}}$总是正的，因此$y'=\dfrac {1}{\sqrt {1+{x}^{2}}}$总是正的。这意味着函数$y=\ln (x+\sqrt {1+{x}^{2}})$在其定义域上是单调递增的。