题目
【填空题】( 三个箱子,第一个箱子中有4个黑球,1个白球;第二个箱子中有3个黑球,3个白球;第三个箱子中有3个黑球,5个白球. 现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出一个球,这个球为白球的概率为____;已知取出的球是白球,此球属于第一个箱子的概率为____)
【填空题】{ 三个箱子,第一个箱子中有4个黑球,1个白球;第二个箱子中有3个黑球,3个白球;第三个箱子中有3个黑球,5个白球. 现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出一个球,这个球为白球的概率为____;已知取出的球是白球,此球属于第一个箱子的概率为____}
题目解答
答案
["53/120; 0.4417","20/53; 0.3774"]
解析
步骤 1：计算每个箱子中取出白球的概率
- 第一个箱子中取出白球的概率为：\(P(W|B1) = \frac{1}{5}\)
- 第二个箱子中取出白球的概率为：\(P(W|B2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
- 第三个箱子中取出白球的概率为：\(P(W|B3) = \frac{5}{8}\)
步骤 2：计算取出白球的总概率
- 由于每个箱子被选中的概率相同，即每个箱子被选中的概率为 \(\frac{1}{3}\)
- 因此，取出白球的总概率为：\(P(W) = P(W|B1)P(B1) + P(W|B2)P(B2) + P(W|B3)P(B3)\)
- 代入数值：\(P(W) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{5}{8} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{15} + \frac{1}{6} + \frac{5}{24} = \frac{8 + 20 + 25}{120} = \frac{53}{120}\)
步骤 3：计算已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率
- 使用贝叶斯定理：\(P(B1|W) = \frac{P(W|B1)P(B1)}{P(W)}\)
- 代入数值：\(P(B1|W) = \frac{\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}}{\frac{53}{120}} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{53}{120}} = \frac{1}{15} \times \frac{120}{53} = \frac{8}{53}\)
- 第一个箱子中取出白球的概率为：\(P(W|B1) = \frac{1}{5}\)
- 第二个箱子中取出白球的概率为：\(P(W|B2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
- 第三个箱子中取出白球的概率为：\(P(W|B3) = \frac{5}{8}\)
步骤 2：计算取出白球的总概率
- 由于每个箱子被选中的概率相同，即每个箱子被选中的概率为 \(\frac{1}{3}\)
- 因此，取出白球的总概率为：\(P(W) = P(W|B1)P(B1) + P(W|B2)P(B2) + P(W|B3)P(B3)\)
- 代入数值：\(P(W) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{5}{8} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{15} + \frac{1}{6} + \frac{5}{24} = \frac{8 + 20 + 25}{120} = \frac{53}{120}\)
步骤 3：计算已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率
- 使用贝叶斯定理：\(P(B1|W) = \frac{P(W|B1)P(B1)}{P(W)}\)
- 代入数值：\(P(B1|W) = \frac{\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}}{\frac{53}{120}} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{53}{120}} = \frac{1}{15} \times \frac{120}{53} = \frac{8}{53}\)