求函数u=xyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数

方向导数的计算主要考查以下两个核心步骤：

1. 梯度向量的求解：对函数$u=xyz$分别求出关于$x$、$y$、$z$的偏导数，并在指定点$(5,1,2)$处代入计算。
2. 单位方向向量的确定：根据给定方向的起点$(5,1,2)$和终点$(9,4,14)$，计算方向向量并进行单位化。

关键点在于正确计算梯度和单位向量，并通过点积公式求出方向导数。

1. 计算梯度向量

函数$u=xyz$的偏导数为：

• $\dfrac{\partial u}{\partial x} = yz$
• $\dfrac{\partial u}{\partial y} = xz$
• $\dfrac{\partial u}{\partial z} = xy$

在点$(5,1,2)$处代入：

• $\dfrac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{(5,1,2)} = 1 \cdot 2 = 2$
• $\dfrac{\partial u}{\partial y}\bigg|_{(5,1,2)} = 5 \cdot 2 = 10$
• $\dfrac{\partial u}{\partial z}\bigg|_{(5,1,2)} = 5 \cdot 1 = 5$

因此，梯度向量为：
$\nabla u = \left(2, 10, 5\right)$

2. 确定单位方向向量

方向向量为终点$(9,4,14)$减去起点$(5,1,2)$：
$\vec{v} = (9-5, 4-1, 14-2) = (4, 3, 12)$

计算模长：
$\|\vec{v}\| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$

单位方向向量为：
$\mathbf{e} = \left(\dfrac{4}{13}, \dfrac{3}{13}, \dfrac{12}{13}\right)$

3. 计算方向导数

方向导数为梯度与单位向量的点积：
$D_{\mathbf{e}}u = \nabla u \cdot \mathbf{e} = 2 \cdot \dfrac{4}{13} + 10 \cdot \dfrac{3}{13} + 5 \cdot \dfrac{12}{13} = \dfrac{8 + 30 + 60}{13} = \dfrac{98}{13}$