题目
求函数u=xyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数
求函数$$u=xyz$$在点$$(5,1,2)$$处沿从点$$(5,1,2)$$到点$$(9,4,14)$$的方向的方向导数
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算方向向量
从点$$(5,1,2)$$到点$$(9,4,14)$$的方向向量为$$\vec{I}=(9-5,4-1,14-2)=(4,3,12)$$。
步骤 2：计算单位方向向量
单位方向向量为$$\vec{e}=\frac{\vec{I}}{|\vec{I}|}=\frac{(4,3,12)}{\sqrt{4^2+3^2+12^2}}=\frac{(4,3,12)}{13}=(\frac{4}{13},\frac{3}{13},\frac{12}{13})$$。
步骤 3：计算偏导数
函数$$u=xyz$$在点$$(5,1,2)$$处的偏导数为：
$$\frac{\partial u}{\partial x}=yz=1\cdot2=2$$
$$\frac{\partial u}{\partial y}=xz=5\cdot2=10$$
$$\frac{\partial u}{\partial z}=xy=5\cdot1=5$$
步骤 4：计算方向导数
方向导数为：
$$\frac{\partial u}{\partial \vec{e}}=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot\frac{4}{13}+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot\frac{3}{13}+\frac{\partial u}{\partial z}\cdot\frac{12}{13}=2\cdot\frac{4}{13}+10\cdot\frac{3}{13}+5\cdot\frac{12}{13}=\frac{98}{13}$$
从点$$(5,1,2)$$到点$$(9,4,14)$$的方向向量为$$\vec{I}=(9-5,4-1,14-2)=(4,3,12)$$。
步骤 2：计算单位方向向量
单位方向向量为$$\vec{e}=\frac{\vec{I}}{|\vec{I}|}=\frac{(4,3,12)}{\sqrt{4^2+3^2+12^2}}=\frac{(4,3,12)}{13}=(\frac{4}{13},\frac{3}{13},\frac{12}{13})$$。
步骤 3：计算偏导数
函数$$u=xyz$$在点$$(5,1,2)$$处的偏导数为：
$$\frac{\partial u}{\partial x}=yz=1\cdot2=2$$
$$\frac{\partial u}{\partial y}=xz=5\cdot2=10$$
$$\frac{\partial u}{\partial z}=xy=5\cdot1=5$$
步骤 4：计算方向导数
方向导数为：
$$\frac{\partial u}{\partial \vec{e}}=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot\frac{4}{13}+\frac{\partial u}{\partial y}\cdot\frac{3}{13}+\frac{\partial u}{\partial z}\cdot\frac{12}{13}=2\cdot\frac{4}{13}+10\cdot\frac{3}{13}+5\cdot\frac{12}{13}=\frac{98}{13}$$