题目
设(x)=dfrac (1)(1-{e)^dfrac (x{x-1)}}求f(x)的间断点并判断类型。
设
求f(x)的间断点并判断类型。
求f(x)的间断点并判断类型。题目解答
答案
可能的间断点x=0，x=1.
而
，
，∴x=0是函数的第二类无穷型间断点。
又
∴x=1是函数的第一类跳跃间断点。
解析
步骤 1：确定可能的间断点
函数$f(x)=\dfrac {1}{1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}}$的分母为$1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}$，当分母为0时，函数无定义，即$1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}=0$。解这个方程，我们得到${e}^{\dfrac {x}{x-1}}=1$，即$\dfrac {x}{x-1}=0$，解得$x=0$。另外，当$x=1$时，分母中的指数函数的分母为0，因此$x=1$也是可能的间断点。
步骤 2：判断$x=0$的间断类型
计算$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}}$。由于当$x$接近0时，$\dfrac {x}{x-1}$接近0，而$e^0=1$，因此$1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}$接近0，所以$\dfrac {1}{1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}}$接近无穷大。因此，$x=0$是函数的第二类无穷型间断点。
步骤 3：判断$x=1$的间断类型
计算$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}\dfrac {1}{1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}}$和$\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {1}{1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}}$。当$x$从左侧接近1时，$\dfrac {x}{x-1}$接近负无穷大，因此$e^{\dfrac {x}{x-1}}$接近0，所以$\dfrac {1}{1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}}$接近1。当$x$从右侧接近1时，$\dfrac {x}{x-1}$接近正无穷大，因此$e^{\dfrac {x}{x-1}}$接近无穷大，所以$\dfrac {1}{1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}}$接近0。因此，$x=1$是函数的第一类跳跃间断点。
函数$f(x)=\dfrac {1}{1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}}$的分母为$1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}$，当分母为0时，函数无定义，即$1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}=0$。解这个方程，我们得到${e}^{\dfrac {x}{x-1}}=1$，即$\dfrac {x}{x-1}=0$，解得$x=0$。另外，当$x=1$时，分母中的指数函数的分母为0，因此$x=1$也是可能的间断点。
步骤 2：判断$x=0$的间断类型
计算$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1}{1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}}$。由于当$x$接近0时，$\dfrac {x}{x-1}$接近0，而$e^0=1$，因此$1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}$接近0，所以$\dfrac {1}{1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}}$接近无穷大。因此，$x=0$是函数的第二类无穷型间断点。
步骤 3：判断$x=1$的间断类型
计算$\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}\dfrac {1}{1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}}$和$\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {1}{1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}}$。当$x$从左侧接近1时，$\dfrac {x}{x-1}$接近负无穷大，因此$e^{\dfrac {x}{x-1}}$接近0，所以$\dfrac {1}{1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}}$接近1。当$x$从右侧接近1时，$\dfrac {x}{x-1}$接近正无穷大，因此$e^{\dfrac {x}{x-1}}$接近无穷大，所以$\dfrac {1}{1-{e}^{\dfrac {x}{x-1}}}$接近0。因此，$x=1$是函数的第一类跳跃间断点。