题目
求直线dfrac (x-1)(1)=dfrac (y)(1)=dfrac (z-1)(-1)-|||-__ __在平面dfrac (x-1)(1)=dfrac (y)(1)=dfrac (z-1)(-1)-|||-__ __上的投影直线的方程。
求直线
在平面
上的投影直线的方程。
题目解答
答案
∵
∴
∴过该直线的平面的方程为：
即：
其中与平面
垂直的平面应满足：
∴
∴与平面垂直的平面为：
∴投影直线为：
解析
步骤 1：确定直线的参数方程
给定直线的方程为 $\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y}{1}=\dfrac {z-1}{-1}$，可以写成参数方程形式：
$$
\begin{cases}
x = t + 1 \\
y = t \\
z = -t + 1
\end{cases}
$$
其中 $t$ 是参数。
步骤 2：确定过直线的平面方程
过直线的平面方程可以表示为：
$$
x - y - 1 + \lambda (y + z - 1) = 0
$$
其中 $\lambda$ 是任意常数。
步骤 3：确定与平面垂直的平面方程
与平面 $\pi: x - y + 2z - 1 = 0$ 垂直的平面方程应满足法向量的点积为0，即：
$$
1 + 1 - \lambda + 2\lambda = 0
$$
解得 $\lambda = -2$，代入平面方程得：
$$
x - 3y - 2z + 1 = 0
$$
步骤 4：确定投影直线的方程
投影直线为平面 $\pi$ 和与平面垂直的平面的交线，即：
$$
\begin{cases}
x - y + 2z - 1 = 0 \\
x - 3y - 2z + 1 = 0
\end{cases}
$$
给定直线的方程为 $\dfrac {x-1}{1}=\dfrac {y}{1}=\dfrac {z-1}{-1}$，可以写成参数方程形式：
$$
\begin{cases}
x = t + 1 \\
y = t \\
z = -t + 1
\end{cases}
$$
其中 $t$ 是参数。
步骤 2：确定过直线的平面方程
过直线的平面方程可以表示为：
$$
x - y - 1 + \lambda (y + z - 1) = 0
$$
其中 $\lambda$ 是任意常数。
步骤 3：确定与平面垂直的平面方程
与平面 $\pi: x - y + 2z - 1 = 0$ 垂直的平面方程应满足法向量的点积为0，即：
$$
1 + 1 - \lambda + 2\lambda = 0
$$
解得 $\lambda = -2$，代入平面方程得：
$$
x - 3y - 2z + 1 = 0
$$
步骤 4：确定投影直线的方程
投影直线为平面 $\pi$ 和与平面垂直的平面的交线，即：
$$
\begin{cases}
x - y + 2z - 1 = 0 \\
x - 3y - 2z + 1 = 0
\end{cases}
$$