已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且 P(X=2)=P(X=4) ,则 λ= __

泊松分布的概率质量函数为 $P(X=k) = \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $\lambda$ 是参数。题目中给出 $P(X=2) = P(X=4)$，需通过建立方程求解 $\lambda$。关键步骤是将 $k=2$ 和 $k=4$ 代入公式，消去公共因子 $e^{-\lambda}$，再通过代数变形解方程。

1. 写出概率表达式
   根据泊松分布公式：
   $P(X=2) = \dfrac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}, \quad P(X=4) = \dfrac{\lambda^4 e^{-\lambda}}{4!}$

2. 建立方程并化简
   由 $P(X=2) = P(X=4)$ 得：
   $\dfrac{\lambda^2}{2!} = \dfrac{\lambda^4}{4!}$
   交叉相乘得：
   $\lambda^2 \cdot 4! = \lambda^4 \cdot 2!$
   代入 $4! = 24$ 和 $2! = 2$：
   $24\lambda^2 = 2\lambda^4 \quad \Rightarrow \quad 12\lambda^2 = \lambda^4$

3. 解方程
   移项并因式分解：
   $\lambda^4 - 12\lambda^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda^2(\lambda^2 - 12) = 0$
   解得 $\lambda^2 = 0$ 或 $\lambda^2 = 12$。因 $\lambda > 0$，故 $\lambda = 2\sqrt{3}$。