4、设函数f(x),g(x)在x=0的某去心邻域内有定义且恒不为零.若当x→0时, f(x)是g(x)的高阶无穷小，则当x→0时，（ ） (A.)f(x)+g(x)=o(g(x)) (B.)f(x)g(x)=o(f²(x)) (C.)f(x)=o(e^g(x)-1) (D.)f(x)=o(g²(x))

为了确定正确答案，我们需要分析每个选项，利用给定的条件，即当 $ x \to 0 $ 时，$ f(x) $ 是 $ g(x) $ 的高阶无穷小。这意味着 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $。 让我们逐步分析每个选项： **选项 (A): $ f(x) + g(x) = o(g(x)) $** 为了使 $ f(x) + g(x) = o(g(x)) $ 成立，我们需要有 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) + g(x)}{g(x)} = 0 $。让我们计算这个极限： \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) + g(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{f(x)}{g(x)} + 1 \right) = 0 + 1 = 1 \neq 0. \] 因此，选项 (A) 是不正确的。 **选项 (B): $ f(x)g(x) = o(f^2(x)) $** 为了使 $ f(x)g(x) = o(f^2(x)) $ 成立，我们需要有 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)g(x)}{f^2(x)} = 0 $。让我们计算这个极限： \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)g(x)}{f^2(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{f(x)}. \] 由于 $ f(x) $ 是 $ g(x) $ 的高阶无穷小，$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，这意味着 $ \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{f(x)} = \infty \neq 0 $。因此，选项 (B) 是不正确的。 **选项 (C): $ f(x) = o(e^{g(x)} - 1) $** 为了使 $ f(x) = o(e^{g(x)} - 1) $ 成立，我们需要有 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{e^{g(x)} - 1} = 0 $。利用 $ e^{g(x)} - 1 \approx g(x) $ 当 $ x \to 0 $ 的事实，我们得到： \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{e^{g(x)} - 1} \approx \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0. \] 因此，选项 (C) 是正确的。 **选项 (D): $ f(x) = o(g^2(x)) $** 为了使 $ f(x) = o(g^2(x)) $ 成立，我们需要有 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g^2(x)} = 0 $。让我们计算这个极限： \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g^2(x)} = \left( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} \right) \left( \lim_{x \to 0} \frac{1}{g(x)} \right). \] 由于 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g^2(x)} $ 取决于 $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{g(x)} $ 的行为。如果 $ g(x) $ 趋向于无穷大或非零常数，那么 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g^2(x)} = 0 $。然而，如果 $ g(x) $ 趋向于零，那么 $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{g(x)} $ 趋向于无穷大，极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g^2(x)} $ 可能不为零。因此，选项 (D) 不一定正确。 正确答案是 $\boxed{C}$。