题目
设随机向量(X,Y)的概率密度为p(x,y)=}(3)/(2x^3)y^(2),(1)/(x)10,其他则EY=[填空1], E((1)/(XY))=[填空2].
设随机向量(X,Y)的概率密度为
$p(x,y)=\begin{cases}\frac{3}{2x^{3}y^{2}},\frac{1}{x}1\\0,其他\end{cases}$
则
$EY=[填空1]$, $E(\frac{1}{XY})=[填空2]$.
题目解答
答案
1. **计算 $E(Y)$**
$E(Y) = \int_{1}^{\infty} \int_{\frac{1}{x}}^{x} y \cdot \frac{3}{2x^3y^2} \, dy \, dx = \int_{1}^{\infty} \frac{3 \ln x}{x^3} \, dx$。
使用分部积分法，得 $E(Y) = \frac{3}{4}$。
2. **计算 $E\left(\frac{1}{XY}\right)$**
$E\left(\frac{1}{XY}\right) = \int_{1}^{\infty} \int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{1}{xy} \cdot \frac{3}{2x^3y^2} \, dy \, dx = \frac{3}{4} \int_{1}^{\infty} \left( -\frac{1}{x^6} + \frac{1}{x^2} \right) \, dx = \frac{3}{5}$。
**答案：**
$\boxed{\frac{3}{4}}$，$\boxed{\frac{3}{5}}$
解析
步骤 1：计算 $E(Y)$
根据概率密度函数 $p(x,y)$，计算 $E(Y)$ 需要计算二重积分 $\int_{1}^{\infty} \int_{\frac{1}{x}}^{x} y \cdot p(x,y) \, dy \, dx$。将 $p(x,y)$ 代入，得到 $E(Y) = \int_{1}^{\infty} \int_{\frac{1}{x}}^{x} y \cdot \frac{3}{2x^3y^2} \, dy \, dx$。简化积分表达式，得到 $E(Y) = \int_{1}^{\infty} \frac{3}{2x^3} \int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{1}{y} \, dy \, dx$。计算内层积分，得到 $E(Y) = \int_{1}^{\infty} \frac{3}{2x^3} \ln x \, dx$。使用分部积分法，设 $u = \ln x$，$dv = \frac{3}{2x^3} dx$，得到 $E(Y) = \frac{3}{4}$。
步骤 2：计算 $E\left(\frac{1}{XY}\right)$
根据概率密度函数 $p(x,y)$，计算 $E\left(\frac{1}{XY}\right)$ 需要计算二重积分 $\int_{1}^{\infty} \int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{1}{xy} \cdot p(x,y) \, dy \, dx$。将 $p(x,y)$ 代入，得到 $E\left(\frac{1}{XY}\right) = \int_{1}^{\infty} \int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{1}{xy} \cdot \frac{3}{2x^3y^2} \, dy \, dx$。简化积分表达式，得到 $E\left(\frac{1}{XY}\right) = \frac{3}{2} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} \int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{1}{y^3} \, dy \, dx$。计算内层积分，得到 $E\left(\frac{1}{XY}\right) = \frac{3}{4} \int_{1}^{\infty} \left( -\frac{1}{x^6} + \frac{1}{x^2} \right) \, dx$。计算积分，得到 $E\left(\frac{1}{XY}\right) = \frac{3}{5}$。
根据概率密度函数 $p(x,y)$，计算 $E(Y)$ 需要计算二重积分 $\int_{1}^{\infty} \int_{\frac{1}{x}}^{x} y \cdot p(x,y) \, dy \, dx$。将 $p(x,y)$ 代入，得到 $E(Y) = \int_{1}^{\infty} \int_{\frac{1}{x}}^{x} y \cdot \frac{3}{2x^3y^2} \, dy \, dx$。简化积分表达式，得到 $E(Y) = \int_{1}^{\infty} \frac{3}{2x^3} \int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{1}{y} \, dy \, dx$。计算内层积分，得到 $E(Y) = \int_{1}^{\infty} \frac{3}{2x^3} \ln x \, dx$。使用分部积分法，设 $u = \ln x$，$dv = \frac{3}{2x^3} dx$，得到 $E(Y) = \frac{3}{4}$。
步骤 2：计算 $E\left(\frac{1}{XY}\right)$
根据概率密度函数 $p(x,y)$，计算 $E\left(\frac{1}{XY}\right)$ 需要计算二重积分 $\int_{1}^{\infty} \int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{1}{xy} \cdot p(x,y) \, dy \, dx$。将 $p(x,y)$ 代入，得到 $E\left(\frac{1}{XY}\right) = \int_{1}^{\infty} \int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{1}{xy} \cdot \frac{3}{2x^3y^2} \, dy \, dx$。简化积分表达式，得到 $E\left(\frac{1}{XY}\right) = \frac{3}{2} \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^4} \int_{\frac{1}{x}}^{x} \frac{1}{y^3} \, dy \, dx$。计算内层积分，得到 $E\left(\frac{1}{XY}\right) = \frac{3}{4} \int_{1}^{\infty} \left( -\frac{1}{x^6} + \frac{1}{x^2} \right) \, dx$。计算积分，得到 $E\left(\frac{1}{XY}\right) = \frac{3}{5}$。