题目
3.[单选题]观察下列各选项中一般项x_(n)的变化趋势，极限不存在的为（）.A x_(n)=(-1)^nnB x_(n)=(-1)^n(1)/(n)C x_(n)=2+(1)/(n^3)D x_(n)=(1)/(3^n)
3.[单选题]
观察下列各选项中一般项$x_{n}$的变化趋势，极限不存在的为（）.
A $x_{n}=(-1)^{n}n$
B $x_{n}=(-1)^{n}\frac{1}{n}$
C $x_{n}=2+\frac{1}{n^{3}}$
D $x_{n}=\frac{1}{3^{n}}$
题目解答
答案
答案：A
解析：
A. $x_n = (-1)^n n$
- 偶数 $n$ 时，$x_n = n$，趋于正无穷；
- 奇数 $n$ 时，$x_n = -n$，趋于负无穷。
- 极限不存在（趋于无穷大且符号交替）。
B. $x_n = (-1)^n \frac{1}{n}$
- 绝对值 $\frac{1}{n}$ 趋于 0，极限为 0。
C. $x_n = 2 + \frac{1}{n^3}$
- $\frac{1}{n^3}$ 趋于 0，极限为 2。
D. $x_n = \frac{1}{3^n}$
- 趋于 0，极限为 0。
结论：
极限不存在的选项为 A。
$\boxed{A}$
解析
考查要点：本题主要考查数列极限的存在性判断，特别是符号交替且绝对值趋向无穷的数列极限不存在的情况。
解题核心思路：
- 判断数列是否收敛：若数列的绝对值趋向于无穷大，或不同子数列的极限不同，则极限不存在。
- 符号交替的影响：若符号交替但绝对值趋向于0，则极限为0；若符号交替且绝对值趋向于无穷，则极限不存在。
破题关键点：
- 选项A的绝对值为$n$，随$n$增大趋向正无穷，且符号交替导致奇偶子数列分别趋向正负无穷，故极限不存在。
- 其余选项的绝对值均趋向于0或有限值，符号交替不影响极限存在性。
选项分析
A. $x_n = (-1)^n n$
- 偶数项：当$n$为偶数时，$x_n = n$，随$n$增大趋向正无穷。
- 奇数项：当$n$为奇数时，$x_n = -n$，随$n$增大趋向负无穷。
- 结论：奇偶子数列极限不同，且绝对值趋向无穷，极限不存在。
B. $x_n = (-1)^n \frac{1}{n}$
- 绝对值为$\frac{1}{n}$，随$n$增大趋向0。
- 符号交替但绝对值趋0，极限为0。
C. $x_n = 2 + \frac{1}{n^3}$
- $\frac{1}{n^3}$随$n$增大趋向0，整体趋向$2 + 0 = 2$，极限为2。
D. $x_n = \frac{1}{3^n}$
- $3^n$随$n$增大指数增长，$\frac{1}{3^n}$趋向0，极限为0。