题目
曲线y=f(x)在区间(a,b)内有f'(x)< 0,f''(x) >0，则在此区间内（） A下降且是凸的; B下降且是凹的 C上升且是凸的; D上升且是凹的.
曲线$y=f(x)$在区间$(a,b)$内有$f'(x)< 0$,$f''(x) >0$，则在此区间内（）
A下降且是凸的;
B下降且是凹的
C上升且是凸的;
D上升且是凹的.
题目解答
答案
为了确定曲线 $ y = f(x) $ 在区间 $(a, b)$ 内的性质，已知 $ f'(x) < 0 $ 和 $ f''(x) > 0 $，我们需要分析一阶导数和二阶导数的含义。
1. **一阶导数 $ f'(x) < 0 $**：
- 一阶导数 $ f'(x) $ 表示函数 $ f(x) $ 的变化率。
- 如果 $ f'(x) < 0 $，则函数 $ f(x) $ 在区间 $(a, b)$ 内是递减的。这意味着曲线是下降的。
2. **二阶导数 $ f''(x) > 0 $**：
- 二阶导数 $ f''(x) $ 表示函数 $ f(x) $ 的凹凸性。
- 如果 $ f''(x) > 0 $，则函数 $ f(x) $ 在区间 $(a, b)$ 内是凹的（或向下凹）。这意味着曲线是凹的。
结合这两个条件，我们得到：
- 曲线 $ y = f(x) $ 在区间 $(a, b)$ 内是下降的。
- 曲线 $ y = f(x) $ 在区间 $(a, b)$ 内是凹的。
因此，正确答案是 $\boxed{B}$。
解析
考查要点：本题主要考查导数与函数图像性质的关系，特别是一阶导数与单调性、二阶导数与凹凸性的判断。
解题核心思路：
- 一阶导数的符号决定函数的增减趋势：若$f'(x) < 0$，函数在区间内单调递减（即曲线下降）。
- 二阶导数的符号决定函数的凹凸性：若$f''(x) > 0$，函数在区间内向下凹（即曲线是凹的）。
破题关键点：明确导数符号与函数几何特征的对应关系，避免混淆凹凸方向。
-
分析一阶导数
题目中给出$f'(x) < 0$，说明函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递减，即曲线整体呈下降趋势。 -
分析二阶导数
题目中给出$f''(x) > 0$，根据二阶导数的几何意义，函数在区间$(a, b)$内向下凹（形状类似开口向下的抛物线）。 -
综合判断
结合上述两点，曲线在区间$(a, b)$内下降且是凹的，对应选项B。