题目
计算极限：lim _(xarrow 0)[ dfrac ({{int )_(0)}^x(e)^-tcos tdt}({ln )^2(1+x)}-dfrac (1)(x)]
计算极限：
题目解答
答案
由题意知，极限为，对其通分，得到
，结合等价无穷小替换，
，可以得到
，借助泰勒展开式，
，则得到
，因此，极限化为
，结合极限的性质，得到
，对于前者，分子分母都趋于零，用洛必达法则，得到
，对于后者，可以得到极限
，则极限
，故正确答案为
。
解析
步骤 1：通分
将给定的极限表达式通分，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\left[ \dfrac {x{\int }_{0}^{x}{e}^{-t}\cos tdt-{\ln }^{2}(1+x)}{x{\ln }^{2}(1+x)}\right]$$
步骤 2：等价无穷小替换
利用等价无穷小替换，$\ln(1+x) \sim x$，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\left[ \dfrac {x{\int }_{0}^{x}{e}^{-t}\cos tdt-{\ln }^{2}(1+x)}{{x}^{3}}\right]$$
步骤 3：泰勒展开式
利用泰勒展开式，$\ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$，则得到：
$$\ln^2(1+x) = \left[x - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)\right]^2 = x^2 - x^3 + o(x^3)$$
步骤 4：极限化简
将上述结果代入，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\left[ \dfrac {x{\int }_{0}^{x}{e}^{-t}\cos tdt - x^2 + x^3 + o(x^3)}{x^3}\right]$$
步骤 5：洛必达法则
对于分子中的积分项，利用洛必达法则，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-{e}^{-x}\cos x-{e}^{-x}\sin x}{2}=\dfrac {-1}{2}$$
步骤 6：极限计算
对于剩余部分，可以得到极限：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{3}+o({x}^{3})}{{x}^{3}}=1+\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {o({x}^{3})}{{x}^{3}}=1$$
步骤 7：最终结果
将上述结果相加，得到最终结果：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\left[ \dfrac {x{\int }_{0}^{x}{e}^{-t}\cos tdt-{\ln }^{2}(1+x)}{{x}^{3}}\right] = -\dfrac {1}{2} + 1 = \dfrac {1}{2}$$
将给定的极限表达式通分，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\left[ \dfrac {x{\int }_{0}^{x}{e}^{-t}\cos tdt-{\ln }^{2}(1+x)}{x{\ln }^{2}(1+x)}\right]$$
步骤 2：等价无穷小替换
利用等价无穷小替换，$\ln(1+x) \sim x$，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\left[ \dfrac {x{\int }_{0}^{x}{e}^{-t}\cos tdt-{\ln }^{2}(1+x)}{{x}^{3}}\right]$$
步骤 3：泰勒展开式
利用泰勒展开式，$\ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)$，则得到：
$$\ln^2(1+x) = \left[x - \frac{1}{2}x^2 + o(x^2)\right]^2 = x^2 - x^3 + o(x^3)$$
步骤 4：极限化简
将上述结果代入，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\left[ \dfrac {x{\int }_{0}^{x}{e}^{-t}\cos tdt - x^2 + x^3 + o(x^3)}{x^3}\right]$$
步骤 5：洛必达法则
对于分子中的积分项，利用洛必达法则，得到：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-{e}^{-x}\cos x-{e}^{-x}\sin x}{2}=\dfrac {-1}{2}$$
步骤 6：极限计算
对于剩余部分，可以得到极限：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{3}+o({x}^{3})}{{x}^{3}}=1+\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {o({x}^{3})}{{x}^{3}}=1$$
步骤 7：最终结果
将上述结果相加，得到最终结果：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\left[ \dfrac {x{\int }_{0}^{x}{e}^{-t}\cos tdt-{\ln }^{2}(1+x)}{{x}^{3}}\right] = -\dfrac {1}{2} + 1 = \dfrac {1}{2}$$