题目
2.设随机变量X的密度函数为 f(x)= )=dfrac {7)(8)-|||-求:(1)常数a,b (2) (dfrac (1)(2)lt Xlt dfrac (3)(2))-|||-(3)X的分布函数F (x)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定常数a和b
根据概率密度函数的性质，整个区间上的积分应等于1，即
${\int }_{0}^{2}f(x)dx=1$
将f(x)的定义代入，得到
${\int }_{0}^{1}xdx+{\int }_{1}^{2}(ax+b)dx=1$
计算积分，得到
$\dfrac {1}{2}+\dfrac {a}{2}+b=1$
另外，根据题目条件，$P(0\lt X\leqslant \dfrac {3}{2})=\dfrac {7}{8}$，即
${\int }_{0}^{1}xdx+{\int }_{1}^{\dfrac {3}{2}}(ax+b)dx=\dfrac {7}{8}$
计算积分，得到
$\dfrac {1}{2}+\dfrac {5a}{8}+\dfrac {b}{2}=\dfrac {7}{8}$
联立两个方程，解得a=-1，b=2。
步骤 2：计算 $P(\dfrac {1}{2}\lt X\lt \dfrac {3}{2})$
根据概率密度函数，计算积分
$P(\dfrac {1}{2}\lt X\lt \dfrac {3}{2})={\int }_{\dfrac {1}{2}}^{1}xdx+{\int }_{1}^{\dfrac {3}{2}}(-x+2)dx$
计算积分，得到
$P(\dfrac {1}{2}\lt X\lt \dfrac {3}{2})=\dfrac {3}{4}=0.75$
步骤 3：确定X的分布函数F(x)
根据概率密度函数，计算分布函数
$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$
分段计算，得到
$F(x)=\left \{ \begin{matrix} 0\quad x\lt 0\\ 0.5{x}^{2}\quad 0\leqslant x\lt 1\\ -0.5{x}^{2}+2x-1\quad 1\leqslant x\leqslant 2\\ 1\quad x\gt 2\end{matrix} \right.$
根据概率密度函数的性质，整个区间上的积分应等于1，即
${\int }_{0}^{2}f(x)dx=1$
将f(x)的定义代入，得到
${\int }_{0}^{1}xdx+{\int }_{1}^{2}(ax+b)dx=1$
计算积分，得到
$\dfrac {1}{2}+\dfrac {a}{2}+b=1$
另外，根据题目条件，$P(0\lt X\leqslant \dfrac {3}{2})=\dfrac {7}{8}$，即
${\int }_{0}^{1}xdx+{\int }_{1}^{\dfrac {3}{2}}(ax+b)dx=\dfrac {7}{8}$
计算积分，得到
$\dfrac {1}{2}+\dfrac {5a}{8}+\dfrac {b}{2}=\dfrac {7}{8}$
联立两个方程，解得a=-1，b=2。
步骤 2：计算 $P(\dfrac {1}{2}\lt X\lt \dfrac {3}{2})$
根据概率密度函数，计算积分
$P(\dfrac {1}{2}\lt X\lt \dfrac {3}{2})={\int }_{\dfrac {1}{2}}^{1}xdx+{\int }_{1}^{\dfrac {3}{2}}(-x+2)dx$
计算积分，得到
$P(\dfrac {1}{2}\lt X\lt \dfrac {3}{2})=\dfrac {3}{4}=0.75$
步骤 3：确定X的分布函数F(x)
根据概率密度函数，计算分布函数
$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$
分段计算，得到
$F(x)=\left \{ \begin{matrix} 0\quad x\lt 0\\ 0.5{x}^{2}\quad 0\leqslant x\lt 1\\ -0.5{x}^{2}+2x-1\quad 1\leqslant x\leqslant 2\\ 1\quad x\gt 2\end{matrix} \right.$