题目
由曲线y=x2与直线y=2x所围成的平面图形的面积为() A.(16)/(3) B.(8)/(3) C.(4)/(3) D.(2)/(3)
由曲线y=x2与直线y=2x所围成的平面图形的面积为()
A.$\frac{16}{3}$
B.$\frac{8}{3}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
题目解答
答案
C.
解：如图，画出曲线y=x2与直线y=2x的图象，则所求面积S为图中阴影部分的面积.
由$\left\{ \begin{array}{l}{y=2x} \\ {y={x}^{2}} \end{array} \right.$解得交点的横坐标为0或2，
所以围成的面积S=${∫}_{0}^{2}$(2x-x2)dx=(x2-$\frac{1}{3}$x3)${|}_{0}^{2}$=$\frac{4}{3}$.
故选C.
解析
步骤 1：确定曲线和直线的交点
为了找到曲线y=x^{2}与直线y=2x的交点，我们需要解方程组：
\[
\left\{
\begin{array}{l}
y = x^{2} \\
y = 2x
\end{array}
\right.
\]
将y=2x代入y=x^{2}，得到x^{2}=2x，即x^{2}-2x=0，进一步分解因式得到x(x-2)=0，从而得到x=0或x=2。因此，交点的横坐标为0或2。
步骤 2：计算围成的面积
根据步骤1，我们确定了曲线和直线的交点，接下来计算由这两条曲线围成的平面图形的面积。面积可以通过计算定积分来得到，即计算从x=0到x=2的积分：
\[
S = \int_{0}^{2} (2x - x^{2}) dx
\]
计算积分：
\[
S = \left[ x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{2} = (2^{2} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (0^{2} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
\]
为了找到曲线y=x^{2}与直线y=2x的交点，我们需要解方程组：
\[
\left\{
\begin{array}{l}
y = x^{2} \\
y = 2x
\end{array}
\right.
\]
将y=2x代入y=x^{2}，得到x^{2}=2x，即x^{2}-2x=0，进一步分解因式得到x(x-2)=0，从而得到x=0或x=2。因此，交点的横坐标为0或2。
步骤 2：计算围成的面积
根据步骤1，我们确定了曲线和直线的交点，接下来计算由这两条曲线围成的平面图形的面积。面积可以通过计算定积分来得到，即计算从x=0到x=2的积分：
\[
S = \int_{0}^{2} (2x - x^{2}) dx
\]
计算积分：
\[
S = \left[ x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} \right]_{0}^{2} = (2^{2} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (0^{2} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
\]