曲面=dfrac ({x)^2}(2)+(y)^2-2平行平面=dfrac ({x)^2}(2)+(y)^2-2的切平面方程是

考查要点：本题主要考查曲面切平面方程的求解方法，以及平面平行的条件。
解题核心思路：

1. 求曲面的法向量：利用显式曲面$z=f(x,y)$的法向量公式$(-f_x, -f_y, 1)$。
2. 平面平行条件：两平面平行当且仅当法向量成比例。
3. 联立方程求切点：通过比例关系解出切点坐标，代入点法式方程得到切平面方程。

破题关键：

• 正确计算曲面法向量，并将其与已知平面法向量建立比例关系。
• 解方程组确定切点坐标，代入方程时注意符号和代数运算的准确性。

1. 求曲面的法向量

曲面方程为$z = \dfrac{x^2}{2} + y^2 - 2$，可改写为隐式形式：
$F(x, y, z) = \dfrac{x^2}{2} + y^2 - z - 2 = 0.$
法向量为$F$的梯度：
$\nabla F = \left( \dfrac{\partial F}{\partial x}, \dfrac{\partial F}{\partial y}, \dfrac{\partial F}{\partial z} \right) = \left( x, 2y, -1 \right).$
因此，曲面在任一点$(x, y, z)$处的法向量为：
$\overrightarrow{n_1} = (x, 2y, -1).$

2. 求已知平面的法向量

平面方程为$2x + 2y - z = 5$，其法向量为：
$\overrightarrow{n_2} = (2, 2, -1).$

3. 平行条件与方程联立

由于切平面与已知平面平行，法向量成比例：
$\overrightarrow{n_1} = k \cdot \overrightarrow{n_2},$
即：
$\begin{cases}x = 2k, \\2y = 2k, \\-1 = -k.\end{cases}$
解得$k = 1$，代入前两式得：
$x = 2, \quad y = 1.$
将$(x, y) = (2, 1)$代入曲面方程求$z$：
$z = \dfrac{2^2}{2} + 1^2 - 2 = 2 + 1 - 2 = 1.$
因此，切点为$(2, 1, 1)$，对应法向量为：
$\overrightarrow{n_1} = (2, 2, -1).$

4. 写切平面方程

用点法式方程：
$2(x - 2) + 2(y - 1) - (z - 1) = 0,$
化简得：
$2x + 2y - z - 5 = 0.$