题目
曲面=dfrac ({x)^2}(2)+(y)^2-2平行平面=dfrac ({x)^2}(2)+(y)^2-2的切平面方程是
曲面
平行平面
的切平面方程是
题目解答
答案
曲面平行平面的切平面方程
- 求曲面的法向量
，
，
2.求平面的法向量
3.计算
由于所求切面与平面平行，即其法向量也平行。
设
，即 k
得出
,即所求切平面过点
。
其法向量
。
可写出切平面得点法式方程：
化简可得所求切平面方程：
解析
步骤 1：求曲面的法向量
给定曲面$z=\dfrac {{x}^{2}}{2}+{y}^{2}-2$，可以将其重写为$F(x,y,z)=z-\dfrac {{x}^{2}}{2}-{y}^{2}+2=0$。曲面的法向量$\overrightarrow{n}$可以通过计算$F(x,y,z)$的梯度得到，即$\overrightarrow{n}=\nabla F(x,y,z)$。计算梯度，我们得到$\overrightarrow{n}=(-x,-2y,1)$。
步骤 2：求平面2x+2y-z=的法向量
给定平面2x+2y-z=0，其法向量$\overrightarrow{n_2}$可以直接从平面方程中读出，即$\overrightarrow{n_2}=(2,2,-1)$。
步骤 3：计算切平面的法向量
由于所求切平面与给定平面平行，其法向量也必须平行。因此，我们设$\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{n_2}$，即$k(-x,-2y,1)=(2,2,-1)$。通过解这个方程组，我们得到$\left \{ \begin{matrix} k=-1\\ x=2\\ y=1\\ z=1\end{matrix} \right.$，即所求切平面过点(2,1,1)。其法向量$\overrightarrow{n_1}=(-2,-2,1)$。
步骤 4：写出切平面的点法式方程
根据点法式方程，我们可以写出切平面的方程：$-2(x-2)-2(y-1)+(z-1)=0$。化简可得所求切平面方程：$2x+2y-z-5=0$。
给定曲面$z=\dfrac {{x}^{2}}{2}+{y}^{2}-2$，可以将其重写为$F(x,y,z)=z-\dfrac {{x}^{2}}{2}-{y}^{2}+2=0$。曲面的法向量$\overrightarrow{n}$可以通过计算$F(x,y,z)$的梯度得到，即$\overrightarrow{n}=\nabla F(x,y,z)$。计算梯度，我们得到$\overrightarrow{n}=(-x,-2y,1)$。
步骤 2：求平面2x+2y-z=的法向量
给定平面2x+2y-z=0，其法向量$\overrightarrow{n_2}$可以直接从平面方程中读出，即$\overrightarrow{n_2}=(2,2,-1)$。
步骤 3：计算切平面的法向量
由于所求切平面与给定平面平行，其法向量也必须平行。因此，我们设$\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{n_2}$，即$k(-x,-2y,1)=(2,2,-1)$。通过解这个方程组，我们得到$\left \{ \begin{matrix} k=-1\\ x=2\\ y=1\\ z=1\end{matrix} \right.$，即所求切平面过点(2,1,1)。其法向量$\overrightarrow{n_1}=(-2,-2,1)$。
步骤 4：写出切平面的点法式方程
根据点法式方程，我们可以写出切平面的方程：$-2(x-2)-2(y-1)+(z-1)=0$。化简可得所求切平面方程：$2x+2y-z-5=0$。