设函数f(x)与g(x)在点x_0连续, 证明函数 ϕ(x)=max(f(x), g(x)), ψ(x)=min(f(x), g(x))在点x_0也连续.

步骤 1：定义函数ϕ(x)和ψ(x)
给定函数ϕ(x)和ψ(x)分别为f(x)和g(x)的最大值和最小值，即
ϕ(x) = max{f(x), g(x)},
ψ(x) = min{f(x), g(x)}.

步骤 2：利用绝对值函数表示ϕ(x)和ψ(x)
可以验证，ϕ(x)和ψ(x)可以表示为
ϕ(x) = 1/2 [f(x) + g(x) + |f(x) - g(x)|],
ψ(x) = 1/2 [f(x) + g(x) - |f(x) - g(x)|].

步骤 3：证明ϕ(x)在点$$x_0$$连续
由于f(x)和g(x)在点$$x_0$$连续，即
$$\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)$$,
$$\lim_{x\to x_0}g(x) = g(x_0)$$,
则
$$\lim_{x\to x_0}ϕ(x) = \lim_{x\to x_0}1/2 [f(x) + g(x) + |f(x) - g(x)|]$$
$$= 1/2 [\lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x) + \lim_{x\to x_0}|f(x) - g(x)|]$$
$$= 1/2 [f(x_0) + g(x_0) + |f(x_0) - g(x_0)|]$$
$$= ϕ(x_0)$$.
因此，ϕ(x)在点$$x_0$$连续.

步骤 4：证明ψ(x)在点$$x_0$$连续
同理，由于f(x)和g(x)在点$$x_0$$连续，即
$$\lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)$$,
$$\lim_{x\to x_0}g(x) = g(x_0)$$,
则
$$\lim_{x\to x_0}ψ(x) = \lim_{x\to x_0}1/2 [f(x) + g(x) - |f(x) - g(x)|]$$
$$= 1/2 [\lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x) - \lim_{x\to x_0}|f(x) - g(x)|]$$
$$= 1/2 [f(x_0) + g(x_0) - |f(x_0) - g(x_0)|]$$
$$= ψ(x_0)$$.
因此，ψ(x)在点$$x_0$$连续.