题目
设随机变量X的概率密度函数是 [ f(x)= } Ax^2, & 0 < x < 1, 0, & 其他. ] 则系数A = (). A. 1B. 2C. (2)/(3)D. 3
设随机变量X的概率密度函数是
$f(x)= \begin{cases} Ax^2, & 0 < x < 1, \\ 0, & 其他. \end{cases}$
则系数A = ().
- A. 1
- B. 2
- C. $\frac{2}{3}$
- D. 3
题目解答
答案
根据概率密度函数的性质，其在所有可能取值范围内的积分应等于1。对于给定的函数 $f(x) = \begin{cases} Ax^2, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，计算积分：
\[
\int_{0}^{1} Ax^2 \, dx = A \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{A}{3}
\]
令积分等于1，解得：
\[
\frac{A}{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad A = 3
\]
因此，系数 $A$ 为 $\boxed{D}$。
解析
考查要点：本题主要考查概率密度函数的性质，即概率密度函数在整个定义域上的积分等于1。通过这一性质，可以建立方程求解未知系数。
解题核心思路：
- 概率密度函数的归一化条件：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。
- 根据题目中分段函数的定义，确定积分区间为$(0,1)$，并计算积分。
- 通过解方程求出系数$A$的值。
破题关键点：
- 明确积分范围为$0$到$1$，其他区间函数值为0。
- 正确计算定积分$\int_{0}^{1} Ax^2 \, dx$，并令其等于1。
根据概率密度函数的归一化条件，有：
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1.$
由于$f(x)$在区间$(0,1)$外为0，积分简化为：
$\int_{0}^{1} Ax^2 \, dx = 1.$
计算积分：
$\int_{0}^{1} Ax^2 \, dx = A \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = A \left( \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{A}{3}.$
建立方程：
$\frac{A}{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad A = 3.$
因此，系数$A$的值为$\boxed{D}$。