4.设f(x)的定义域是[0,1],求下列函数的定义域:-|||-(1)f(e^x);-|||-(2)f(ln x);-|||-(3)f(arctan x);-|||-(4)f(cos x).

考查要点：本题主要考查复合函数定义域的求解方法，需要根据原函数的定义域，结合复合函数内部表达式的取值范围，建立不等式求解。

解题核心思路：

1. 复合函数定义域的本质：若原函数$f(x)$的定义域为$[a,b]$，则复合函数$f(g(x))$的定义域需满足$a \leq g(x) \leq b$。
2. 关键步骤：
   • 确定内部函数$g(x)$的取值范围，使其落在$[a,b]$内；
   • 解关于$x$的不等式，得到$x$的范围，即为所求定义域。
3. 特殊函数性质：需注意指数函数、对数函数、反三角函数及三角函数的单调性、值域和周期性对解题的影响。

(1) $f(e^x)$

内部函数：$e^x$的值域为$(0,+\infty)$，但需满足$0 \leq e^x \leq 1$。
解不等式：

• $e^x \leq 1 \Rightarrow x \leq 0$（指数函数单调递增）。
• $e^x > 0$恒成立，无需额外限制。
  结论：定义域为$(-\infty, 0]$。

(2) $f(\ln x)$

内部函数：$\ln x$的定义域为$x > 0$，需满足$0 \leq \ln x \leq 1$。
解不等式：

• $0 \leq \ln x \Rightarrow x \geq e^0 = 1$；
• $\ln x \leq 1 \Rightarrow x \leq e^1 = e$。
  结论：定义域为$[1, e]$。

(3) $f(\arctan x)$

内部函数：$\arctan x$的值域为$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，需满足$0 \leq \arctan x \leq 1$。
解不等式：

• $\arctan x \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$（$\arctan x$在$[0,+\infty)$单调递增）；
• $\arctan x \leq 1 \Rightarrow x \leq \tan 1$（取正切函数值）。
  结论：定义域为$[0, \tan 1]$。

(4) $f(\cos x)$

内部函数：$\cos x$的值域为$[-1,1]$，需满足$0 \leq \cos x \leq 1$。
解不等式：

• $\cos x \geq 0$的解为$x \in \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} \left[2n\pi - \frac{\pi}{2}, 2n\pi + \frac{\pi}{2}\right]$（余弦函数在每周期的中间半周非负）。
  结论：定义域为$\bigcup_{n \in \mathbb{Z}} \left[2n\pi - \frac{\pi}{2}, 2n\pi + \frac{\pi}{2}\right]$。