12个乒乓球中有9个新的，3个旧的，第一次比赛取出了3个，用完后放回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取到的3个球中有2个新球的概率。

考查要点：本题主要考查条件概率和分类讨论的能力，需要结合组合数计算解决实际问题。

解题核心思路：

1. 明确两次取球的关联性：第一次取球后放回旧球，导致第二次取球时新旧球数量发生变化。
2. 分类讨论第一次取球的情况：根据第一次取出的新球数量（0、1、2、3个），分四种情况讨论。
3. 计算每种情况下的概率：分别计算第一次取球的概率，以及对应第二次取到2个新球的概率，最后求和。

破题关键点：

• 动态更新新旧球数量：第一次取出$x$个新球后，第二次的新球数量变为$9 - x$，旧球数量变为$3 + x$。
• 组合数公式的应用：正确计算每种情况下的组合数，避免遗漏或重复。

第一次取球的四种情况

1. 全取新球（$x=3$）
   概率：$P_1 = \dfrac{C_9^3}{C_{12}^3} = \dfrac{21}{55}$
   第二次新球数量：$9 - 3 = 6$，旧球数量：$3 + 3 = 6$
   第二次取2新1旧的概率：$\dfrac{C_6^2 C_6^1}{C_{12}^3} = \dfrac{9}{22}$

2. 取2新1旧（$x=2$）
   概率：$P_2 = \dfrac{C_9^2 C_3^1}{C_{12}^3} = \dfrac{27}{55}$
   第二次新球数量：$9 - 2 = 7$，旧球数量：$3 + 2 = 5$
   第二次取2新1旧的概率：$\dfrac{C_7^2 C_5^1}{C_{12}^3} = \dfrac{21}{44}$

3. 取1新2旧（$x=1$）
   概率：$P_3 = \dfrac{C_9^1 C_3^2}{C_{12}^3} = \dfrac{27}{220}$
   第二次新球数量：$9 - 1 = 8$，旧球数量：$3 + 1 = 4$
   第二次取2新1旧的概率：$\dfrac{C_8^2 C_4^1}{C_{12}^3} = \dfrac{28}{55}$

4. 全取旧球（$x=0$）
   概率：$P_4 = \dfrac{C_3^3}{C_{12}^3} = \dfrac{1}{220}$
   第二次新球数量：$9 - 0 = 9$，旧球数量：$3 + 0 = 3$
   第二次取2新1旧的概率：$\dfrac{C_9^2 C_3^1}{C_{12}^3} = \dfrac{27}{55}$

总概率计算

将四种情况的概率加权求和：
$P = P_1 \cdot \dfrac{9}{22} + P_2 \cdot \dfrac{21}{44} + P_3 \cdot \dfrac{28}{55} + P_4 \cdot \dfrac{27}{55} = \dfrac{1377}{3025}$