当x→1时，无穷小1-x和(1) 1-x^3;(-|||-(2) dfrac (1)(2)(1-(x)^2)是否同阶？是否等价？

考查要点：本题主要考查无穷小的阶的比较，特别是同阶无穷小和等价无穷小的判断方法。

解题核心思路：

1. 同阶无穷小的判断依据是两个无穷小的比值的极限为非零常数；
2. 等价无穷小的判断依据是比值的极限为1。
   关键步骤是通过因式分解或洛必达法则计算极限，简化表达式后判断结果。

破题关键点：

• 因式分解将分子分母中的公共因子约去，简化极限计算；
• 注意代入$x=1$时的计算准确性。

第（1）题：比较$1-x$与$1-x^3$

因式分解

将分子$1-x^3$分解为$(1-x)(1+x+x^2)$，则：
$\frac{1-x^3}{1-x} = \frac{(1-x)(1+x+x^2)}{1-x} = 1+x+x^2$

计算极限

当$x \to 1$时：
$\lim_{x \to 1} (1+x+x^2) = 1 + 1 + 1 = 3$

结论：

• 比值极限为$3$（非零常数），故同阶无穷小；
• 极限不等于$1$，故不是等价无穷小。

第（2）题：比较$1-x$与$\dfrac{1}{2}(1-x^2)$

因式分解

将$1-x^2$分解为$(1-x)(1+x)$，则：
$\frac{\dfrac{1}{2}(1-x^2)}{1-x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1-x)(1+x)}{1-x} = \frac{1}{2}(1+x)$

计算极限

当$x \to 1$时：
$\lim_{x \to 1} \frac{1}{2}(1+x) = \frac{1}{2} \cdot (1+1) = 1$

结论：

• 比值极限为$1$，故同阶无穷小且等价无穷小。