微分方程 dfrac (dy)(dx)=dfrac (1)(x+y) 的通解为 ()

步骤 1：引入变量
设 $u = x + y$，则 $y = u - x$。对 $y$ 关于 $x$ 求导，得到 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{du}{dx} - 1$。
步骤 2：代入原方程
将 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{x+y}$ 代入，得到 $\dfrac{du}{dx} - 1 = \dfrac{1}{u}$。
步骤 3：分离变量
将方程变形为 $\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{u} + 1$，即 $\dfrac{du}{dx} = \dfrac{u+1}{u}$。分离变量得到 $\dfrac{u}{u+1}du = dx$。
步骤 4：积分
对两边积分，得到 $\int \dfrac{u}{u+1}du = \int dx$。左边的积分可以通过部分分式分解来计算，即 $\int \dfrac{u}{u+1}du = \int \left(1 - \dfrac{1}{u+1}\right)du = u - \ln|u+1| + C$。右边的积分是 $x + C$。
步骤 5：代回原变量
将 $u = x + y$ 代回，得到 $x + y - \ln|x+y+1| = x + C$。整理得到 $y - \ln|x+y+1| = C$。
步骤 6：整理通解
将通解整理为 $x = C{e}^{y} - y - 1$ 的形式。