题目
求齐次线性方程组-|||- ) 2(x)_(1)+(x)_(2)-(x)_(3)+(x)_(4)-3(x)_(5)=0 (x)_(1)+(x)_(2)-(x)_(3) +(x)_(5)=0 .-|||-的解空间(作成R ^5的子空间)的一组标准正交基 .
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解方程组的基础解系
首先，我们求解给定的齐次线性方程组的基础解系。方程组为：
$$
\left \{ \begin{matrix} 2{x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3}+{x}_{4}-3{x}_{5}=0\\ {x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3}\quad +{x}_{5}=0\end{matrix} \right.
$$
将方程组写成矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & 1 & -3 \\
1 & 1 & -1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
通过行变换化简矩阵，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & -4 \\
0 & 1 & -1 & -1 & 5
\end{pmatrix}
$$
由此，我们得到方程组的解：
$$
\begin{cases}
x_1 = -x_4 + 4x_5 \\
x_2 = x_3 + x_4 - 5x_5
\end{cases}
$$
取 $x_3, x_4, x_5$ 为自由变量，得到基础解系：
$$
\alpha_1 = (0, 1, 1, 0, 0), \quad \alpha_2 = (-1, 1, 0, 1, 0), \quad \alpha_3 = (4, -5, 0, 0, 1)
$$
步骤 2：对基础解系进行正交化
使用施密特正交化方法，对基础解系进行正交化。首先，令 $\beta_1 = \alpha_1$，然后计算 $\beta_2$ 和 $\beta_3$：
$$
\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 = \frac{1}{2}(-2, 1, -1, 2, 0)
$$
$$
\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2 = \frac{1}{315}(7, -6, 6, 13, 5)
$$
步骤 3：对正交化后的向量进行单位化
对正交化后的向量进行单位化，得到标准正交基：
$$
y_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(0, 1, 1, 0, 0)
$$
$$
y_2 = \frac{1}{\sqrt{10}}(-2, 1, -1, 2, 0)
$$
$$
y_3 = \frac{1}{\sqrt{315}}(7, -6, 6, 13, 5)
$$
首先，我们求解给定的齐次线性方程组的基础解系。方程组为：
$$
\left \{ \begin{matrix} 2{x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3}+{x}_{4}-3{x}_{5}=0\\ {x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{3}\quad +{x}_{5}=0\end{matrix} \right.
$$
将方程组写成矩阵形式：
$$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & 1 & -3 \\
1 & 1 & -1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
通过行变换化简矩阵，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 & -4 \\
0 & 1 & -1 & -1 & 5
\end{pmatrix}
$$
由此，我们得到方程组的解：
$$
\begin{cases}
x_1 = -x_4 + 4x_5 \\
x_2 = x_3 + x_4 - 5x_5
\end{cases}
$$
取 $x_3, x_4, x_5$ 为自由变量，得到基础解系：
$$
\alpha_1 = (0, 1, 1, 0, 0), \quad \alpha_2 = (-1, 1, 0, 1, 0), \quad \alpha_3 = (4, -5, 0, 0, 1)
$$
步骤 2：对基础解系进行正交化
使用施密特正交化方法，对基础解系进行正交化。首先，令 $\beta_1 = \alpha_1$，然后计算 $\beta_2$ 和 $\beta_3$：
$$
\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 = \frac{1}{2}(-2, 1, -1, 2, 0)
$$
$$
\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)} \beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)} \beta_2 = \frac{1}{315}(7, -6, 6, 13, 5)
$$
步骤 3：对正交化后的向量进行单位化
对正交化后的向量进行单位化，得到标准正交基：
$$
y_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(0, 1, 1, 0, 0)
$$
$$
y_2 = \frac{1}{\sqrt{10}}(-2, 1, -1, 2, 0)
$$
$$
y_3 = \frac{1}{\sqrt{315}}(7, -6, 6, 13, 5)
$$