题目

实数a，b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4．（1）求实数a，b的取值范围；（2）求3a-2b的取值范围．

实数a，b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4．
（1）求实数a，b的取值范围；
（2）求3a-2b的取值范围．

题目解答

答案

解：（1）由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，
两式相加得，-4≤2a≤6，则-2≤a≤3，
由-1≤a-b≤4，得-4≤-a+b≤1，
又-3≤a+b≤2，两式相加得，-7≤2b≤3，即$-\frac{7}{2}≤b≤\frac{3}{2}$；
（2）设3a-2b=m（a+b）+n（a-b）=（m+n）a+（m-n）b，
则$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{m-n=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴3a-2b=$\frac{1}{2}$（a+b）+$\frac{5}{2}$（a-b），
∵-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，
∴$-\frac{3}{2}≤\frac{1}{2}（a+b）≤1$，$-\frac{5}{2}≤\frac{5}{2}（a-b）≤10$，
则-4≤3a-2b≤11．

解析

考查要点：本题主要考查不等式组的联立求解及线性组合的应用，涉及代数运算和不等式性质的理解。

解题思路：

第一问：通过联立关于$a$和$b$的不等式，利用加减消元法分别求出$a$和$b$的取值范围。
第二问：将目标表达式$3a-2b$表示为已知不等式组的线性组合，通过待定系数法确定系数，再利用不等式运算性质求范围。

关键点：

联立不等式时注意符号变化和运算顺序。
线性组合需确保系数匹配，避免遗漏极值情况。

第（1）题

求$a$的取值范围

将不等式组：
$\begin{cases}-3 \leq a+b \leq 2 \\-1 \leq a-b \leq 4\end{cases}$
两式相加得：
$-4 \leq 2a \leq 6 \implies -2 \leq a \leq 3.$

求$b$的取值范围

变形第二个不等式：
由$-1 \leq a-b \leq 4$，两边乘以$-1$（注意不等号方向反转）：
$-4 \leq -a + b \leq 1.$
与第一个不等式相加：
原不等式$-3 \leq a+b \leq 2$与变形后的不等式相加：
$-7 \leq 2b \leq 3 \implies -\frac{7}{2} \leq b \leq \frac{3}{2}.$

第（2）题

设定线性组合

设$3a-2b = m(a+b) + n(a-b)$，展开得：
$(m+n)a + (m-n)b.$
与目标式系数对比得方程组：
$\begin{cases}m+n = 3 \\m-n = -2\end{cases}$
解得：
$m = \frac{1}{2}, \quad n = \frac{5}{2}.$

求取值范围

将$3a-2b$表示为：
$\frac{1}{2}(a+b) + \frac{5}{2}(a-b).$
分别代入$a+b$和$a-b$的范围：

$\frac{1}{2}(a+b) \in \left[-\frac{3}{2}, 1\right]$，
$\frac{5}{2}(a-b) \in \left[-\frac{5}{2}, 10\right]$，
相加得：
$-\frac{3}{2} - \frac{5}{2} \leq 3a-2b \leq 1 + 10 \implies -4 \leq 3a-2b \leq 11.$