题目
设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知n1,n 2,n3是它的-|||-三个解向量,且-|||-_(1)=(2,3,4,5)T , _(2)+(n)_(3)=(1,2,3,4)T,-|||-求该方程组的通解.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定齐次方程的基础解系
由于系数矩阵的秩为3，而方程组是四元的，因此齐次方程的基础解系由1个非零解构成。这意味着任一非零解都是基础解系。
步骤 2：构造非齐次方程组的特解
已知 ${n}_{1}=(2,3,4,5)^{T}$ 是非齐次方程组的一个解，因此 ${n}_{1}$ 可以作为非齐次方程组的一个特解。
步骤 3：构造齐次方程组的解
已知 ${n}_{2}+{n}_{3}={(1,2,3,4)}^{T}$，构造向量 ${S}_{5}=2{n}_{1}-({n}_{2}+{n}_{3})$，则 ${S}_{5}$ 是齐次方程组的一个解。计算 ${S}_{5}$ 的值：
${S}_{5}=2{n}_{1}-({n}_{2}+{n}_{3})=2(2,3,4,5)^{T}-(1,2,3,4)^{T}=(4,6,8,10)^{T}-(1,2,3,4)^{T}=(3,4,5,6)^{T}$
步骤 4：确定通解
非齐次方程组的通解为特解加上齐次方程组的通解。因此，通解为：
$x=k\xi+n_{1}=k(3,4,5,6)^{T}+(2,3,4,5)^{T}$，其中 $k$ 为任意实数。
由于系数矩阵的秩为3，而方程组是四元的，因此齐次方程的基础解系由1个非零解构成。这意味着任一非零解都是基础解系。
步骤 2：构造非齐次方程组的特解
已知 ${n}_{1}=(2,3,4,5)^{T}$ 是非齐次方程组的一个解，因此 ${n}_{1}$ 可以作为非齐次方程组的一个特解。
步骤 3：构造齐次方程组的解
已知 ${n}_{2}+{n}_{3}={(1,2,3,4)}^{T}$，构造向量 ${S}_{5}=2{n}_{1}-({n}_{2}+{n}_{3})$，则 ${S}_{5}$ 是齐次方程组的一个解。计算 ${S}_{5}$ 的值：
${S}_{5}=2{n}_{1}-({n}_{2}+{n}_{3})=2(2,3,4,5)^{T}-(1,2,3,4)^{T}=(4,6,8,10)^{T}-(1,2,3,4)^{T}=(3,4,5,6)^{T}$
步骤 4：确定通解
非齐次方程组的通解为特解加上齐次方程组的通解。因此，通解为：
$x=k\xi+n_{1}=k(3,4,5,6)^{T}+(2,3,4,5)^{T}$，其中 $k$ 为任意实数。