设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知n1,n 2,n3是它的-|||-三个解向量,且-|||-_(1)=(2,3,4,5)T , _(2)+(n)_(3)=(1,2,3,4)T,-|||-求该方程组的通解.

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组的通解结构，涉及解空间的性质、基础解系的求解方法。

解题核心思路：

1. 确定齐次方程组的基础解系：根据系数矩阵的秩和未知数个数，确定基础解系中解的个数。
2. 构造齐次方程组的解：利用非齐次方程组解的差为齐次方程组的解这一性质，通过线性组合构造基础解系。
3. 写出通解：将基础解系与非齐次方程组的一个特解结合。

破题关键点：

• 秩与基础解系的关系：系数矩阵秩为3，未知数个数为4，故齐次方程组基础解系含1个向量。
• 线性组合构造齐次解：通过特解的线性组合消去常数项，得到齐次方程组的解。

步骤1：确定齐次方程组的基础解系维度

方程组系数矩阵秩为3，未知数个数为4，故齐次方程组的基础解系中解的个数为：
$n - r = 4 - 3 = 1$

步骤2：构造齐次方程组的解

设非齐次方程组为 $Ax = b$，已知解向量 $n_1, n_2, n_3$，则：
$A(2n_1 - n_2 - n_3) = 2An_1 - An_2 - An_3 = 2b - b - b = 0$
因此，向量 $\xi = 2n_1 - (n_2 + n_3)$ 是齐次方程组的解。计算得：
$\xi = 2(2,3,4,5)^T - (1,2,3,4)^T = (3,4,5,6)^T$

步骤3：写出通解

非齐次方程组的通解为齐次方程组的通解加上一个特解。取特解为 $n_1$，则通解为：
$x = k\xi + n_1 = k(3,4,5,6)^T + (2,3,4,5)^T \quad (k \in \mathbb{R})$