题目
设积分区域 D=(x,y)|0leq yleqsqrt(a^2-x^2),0leq xleq a，根据二重积分的几何意义可知 iint_(D)sqrt(a^2-x^2-y^2)dxdy=（）。A. (pi a^3)/(3)B. (pi a^3)/(2)C. (pi a^3)/(6)D. (pi a^3)/(9)
设积分区域 $D=\{(x,y)|0\leq y\leq\sqrt{a^2-x^2},0\leq x\leq a\}$，根据二重积分的几何意义可知 $\iint_{D}\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=$（）。
A. $\frac{\pi a^3}{3}$
B. $\frac{\pi a^3}{2}$
C. $\frac{\pi a^3}{6}$
D. $\frac{\pi a^3}{9}$
题目解答
答案
C. $\frac{\pi a^3}{6}$
解析
步骤 1：确定积分区域 $D$
积分区域 $D$ 为第一象限内半径为 $a$ 的四分之一圆，即 $x^2 + y^2 \leq a^2$，$0 \leq x \leq a$，$0 \leq y \leq \sqrt{a^2 - x^2}$。
步骤 2：理解被积函数 $\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$
被积函数 $\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ 表示球面方程，即 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$，其中 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$。
步骤 3：计算二重积分的几何意义
该积分表示球体在第一象限部分的体积，即球体总体积的八分之一。球体总体积为 $\frac{4}{3} \pi a^3$，故所求体积为：\[ \frac{1}{8} \times \frac{4}{3} \pi a^3 = \frac{\pi a^3}{6}. \]
步骤 4：使用极坐标变换
使用极坐标变换，积分变为：\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - r^2} \, r \, dr \, d\theta = \frac{\pi a^3}{6}. \]
积分区域 $D$ 为第一象限内半径为 $a$ 的四分之一圆，即 $x^2 + y^2 \leq a^2$，$0 \leq x \leq a$，$0 \leq y \leq \sqrt{a^2 - x^2}$。
步骤 2：理解被积函数 $\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$
被积函数 $\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ 表示球面方程，即 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$，其中 $z = \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$。
步骤 3：计算二重积分的几何意义
该积分表示球体在第一象限部分的体积，即球体总体积的八分之一。球体总体积为 $\frac{4}{3} \pi a^3$，故所求体积为：\[ \frac{1}{8} \times \frac{4}{3} \pi a^3 = \frac{\pi a^3}{6}. \]
步骤 4：使用极坐标变换
使用极坐标变换，积分变为：\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - r^2} \, r \, dr \, d\theta = \frac{\pi a^3}{6}. \]