2. 求由方程 ^x+2y=xy 所确定的隐函数 y=y(x) 的导数y`。

考查要点：本题主要考查隐函数求导的方法，涉及链式法则和乘积法则的应用，以及通过代数变形解出导数$y'$的能力。

解题核心思路：

1. 对方程两边同时关于$x$求导，注意将$y$视为$x$的函数，应用链式法则处理复合函数。
2. 将求导后的式子整理，将含$y'$的项集中到等式一侧，其他项移到另一侧。
3. 提取$y'$的公因子，解出$y'$的表达式。
4. 利用原方程$e^{x+2y}=xy$替换中间结果中的$e^{x+2y}$，化简最终答案。

破题关键点：

• 正确应用链式法则对$e^{x+2y}$求导，注意$y$对$x$的导数为$y'$。
• 准确处理乘积项$xy$的导数，避免符号错误。
• 代数变形时保持等式平衡，确保移项和合并同类项的正确性。

步骤1：对原方程两边关于$x$求导
原方程：
$e^{x+2y} = xy$
对两边同时关于$x$求导：

• 左边：应用链式法则，导数为$e^{x+2y} \cdot \frac{d}{dx}(x+2y) = e^{x+2y}(1 + 2y')$。
• 右边：应用乘积法则，导数为$y + x \cdot y'$。

因此，导数方程为：
$e^{x+2y}(1 + 2y') = y + x y'$

步骤2：整理含$y'$的项
将含$y'$的项移到左边，其余项移到右边：
$e^{x+2y} \cdot 2y' - x y' = y - e^{x+2y}$
提取$y'$的公因子：
$y' \cdot \left(2e^{x+2y} - x\right) = y - e^{x+2y}$

步骤3：解出$y'$
两边同除以$(2e^{x+2y} - x)$：
$y' = \frac{y - e^{x+2y}}{2e^{x+2y} - x}$

步骤4：代入原方程化简
利用原方程$e^{x+2y} = xy$，替换分子和分母中的$e^{x+2y}$：

• 分子：$y - e^{x+2y} = y - xy = y(1 - x)$
• 分母：$2e^{x+2y} - x = 2xy - x = x(2y - 1)$

因此，化简后：
$y' = \frac{y(1 - x)}{x(2y - 1)} = \frac{xy - y}{x - 2xy}$