题目
当x→1时,函数dfrac ({x)^2-1}(x-1)(e)^dfrac (1{x-1)}的极限( ) (A)等于2 (B)等于0 (C)为∞ (D)不存在但不为∞
当x→1时,函数
的极限( )
(A)等于2 (B)等于0 (C)为∞ (D)不存在但不为∞
题目解答
答案
D. 不存在但不为∞
解析
步骤 1：化简函数
首先，我们化简函数$\frac{x^{2}-1}{x-1}e^{\frac{1}{x-1}}$。注意到$x^{2}-1$可以分解为$(x+1)(x-1)$，因此函数可以写为$\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}e^{\frac{1}{x-1}}$。当$x \neq 1$时，可以进一步简化为$(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}$。
步骤 2：分析极限
接下来，我们分析$x \to 1$时函数$(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}$的极限。当$x$从左侧接近1时，$\frac{1}{x-1}$趋向于负无穷大，因此$e^{\frac{1}{x-1}}$趋向于0。当$x$从右侧接近1时，$\frac{1}{x-1}$趋向于正无穷大，因此$e^{\frac{1}{x-1}}$趋向于正无穷大。由于$x+1$在$x \to 1$时趋向于2，因此整个函数在$x$从左侧接近1时趋向于0，而在$x$从右侧接近1时趋向于正无穷大。
步骤 3：确定极限是否存在
由于函数在$x \to 1$时从左侧和右侧的极限值不同，因此函数在$x \to 1$时的极限不存在，但不为无穷大。
首先，我们化简函数$\frac{x^{2}-1}{x-1}e^{\frac{1}{x-1}}$。注意到$x^{2}-1$可以分解为$(x+1)(x-1)$，因此函数可以写为$\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}e^{\frac{1}{x-1}}$。当$x \neq 1$时，可以进一步简化为$(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}$。
步骤 2：分析极限
接下来，我们分析$x \to 1$时函数$(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}$的极限。当$x$从左侧接近1时，$\frac{1}{x-1}$趋向于负无穷大，因此$e^{\frac{1}{x-1}}$趋向于0。当$x$从右侧接近1时，$\frac{1}{x-1}$趋向于正无穷大，因此$e^{\frac{1}{x-1}}$趋向于正无穷大。由于$x+1$在$x \to 1$时趋向于2，因此整个函数在$x$从左侧接近1时趋向于0，而在$x$从右侧接近1时趋向于正无穷大。
步骤 3：确定极限是否存在
由于函数在$x \to 1$时从左侧和右侧的极限值不同，因此函数在$x \to 1$时的极限不存在，但不为无穷大。