当x→1时,函数dfrac ({x)^2-1}(x-1)(e)^dfrac (1{x-1)}的极限( ) (A)等于2 (B)等于0 (C)为∞ (D)不存在但不为∞

考查要点：本题主要考查函数极限的计算，特别是分式与指数函数结合时的极限行为，以及左右极限对整体极限存在性的影响。

解题核心思路：

1. 分解函数结构：将函数拆分为分式部分 $\frac{x^2-1}{x-1}$ 和指数部分 $e^{\frac{1}{x-1}}$，分别分析其极限。
2. 分式化简：利用因式分解简化分式，得到 $\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$，当 $x \neq 1$ 时，分式极限为 $2$。
3. 指数部分分析：当 $x \to 1^+$ 时，$\frac{1}{x-1} \to +\infty$，故 $e^{\frac{1}{x-1}} \to +\infty$；当 $x \to 1^-$ 时，$\frac{1}{x-1} \to -\infty$，故 $e^{\frac{1}{x-1}} \to 0$。
4. 左右极限对比：右侧极限为 $2 \cdot (+\infty) = +\infty$，左侧极限为 $2 \cdot 0 = 0$，左右极限不相等，故整体极限不存在。

破题关键点：左右极限存在但不相等，导致整体极限不存在，且右侧极限为无穷大，但左侧极限为有限值，因此整体极限不存在但不为无穷大。

分式部分化简

将分式 $\frac{x^2-1}{x-1}$ 因式分解：
$\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \quad (x \neq 1).$
当 $x \to 1$ 时，分式部分的极限为 $x+1 \to 1+1 = 2$。

指数部分分析

指数函数 $e^{\frac{1}{x-1}}$ 的行为取决于 $x$ 趋近于1的方向：

• 当 $x \to 1^+$：$x-1 \to 0^+$，故 $\frac{1}{x-1} \to +\infty$，因此 $e^{\frac{1}{x-1}} \to +\infty$。
• 当 $x \to 1^-$：$x-1 \to 0^-$，故 $\frac{1}{x-1} \to -\infty$，因此 $e^{\frac{1}{x-1}} \to 0$。

整体极限计算

• 右侧极限：$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2-1}{x-1} e^{\frac{1}{x-1}} = 2 \cdot (+\infty) = +\infty$。
• 左侧极限：$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2-1}{x-1} e^{\frac{1}{x-1}} = 2 \cdot 0 = 0$。

结论：左右极限存在但不相等，因此原函数在 $x \to 1$ 时极限不存在，且右侧极限为无穷大，但左侧极限为有限值，故整体极限不存在但不为无穷大。