2.设 f(x)= dfrac (sqrt {a)-sqrt (a-x)}(x),xlt 0 (agt 0), 当a取何值时,f(x )在 x=0 处连续.-|||-dfrac (cos x)(x+2),xgeqslant 0

考查要点：本题主要考查函数在分段点处的连续性条件，涉及极限的计算和方程求解。

解题核心思路：

1. 连续性条件：函数在$x=0$处连续需满足左极限、右极限均存在且等于$f(0)$。
2. 右极限直接计算：当$x \geq 0$时，$f(x) = \frac{\cos x}{x+2}$，代入$x=0$即可得右极限。
3. 左极限化简：当$x < 0$时，分子为$\sqrt{a} - \sqrt{a - x}$，通过有理化或洛必达法则化简后求极限。
4. 方程求解：令左极限等于$f(0)$，解关于$a$的方程。

破题关键：

• 有理化处理分子，将分式化简为可直接求极限的形式。
• 正确处理极限表达式，注意$x \to 0$时$\sqrt{a - x} \to \sqrt{a}$。

步骤1：计算$f(0)$
当$x \geq 0$时，$f(x) = \frac{\cos x}{x+2}$，代入$x=0$得：
$f(0) = \frac{\cos 0}{0 + 2} = \frac{1}{2}.$

步骤2：计算右极限$\lim_{x \to 0^+} f(x)$
当$x \to 0^+$时，$f(x) = \frac{\cos x}{x+2}$，直接代入$x=0$得：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{\cos 0}{0 + 2} = \frac{1}{2}.$

步骤3：计算左极限$\lim_{x \to 0^-} f(x)$
当$x \to 0^-$时，$f(x) = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a - x}}{x}$。通过有理化分子：
$\begin{aligned}\lim_{x \to 0^-} f(x) &= \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a - x}}{x} \\&= \lim_{x \to 0^-} \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{a - x})(\sqrt{a} + \sqrt{a - x})}{x (\sqrt{a} + \sqrt{a - x})} \\&= \lim_{x \to 0^-} \frac{a - (a - x)}{x (\sqrt{a} + \sqrt{a - x})} \\&= \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{x (\sqrt{a} + \sqrt{a - x})} \\&= \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a - x}} \\&= \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{a}} = \frac{1}{2\sqrt{a}}.\end{aligned}$

步骤4：令左极限等于$f(0)$
根据连续性条件，左极限需等于$f(0) = \frac{1}{2}$，即：
$\frac{1}{2\sqrt{a}} = \frac{1}{2} \implies \sqrt{a} = 1 \implies a = 1.$