题目
2.设 f(x)= dfrac (sqrt {a)-sqrt (a-x)}(x),xlt 0 (agt 0), 当a取何值时,f(x )在 x=0 处连续.-|||-dfrac (cos x)(x+2),xgeqslant 0
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数在 x=0 处的值
根据函数定义，当 x=0 时，f(x) = $\dfrac{\cos x}{x+2}$。因此，f(0) = $\dfrac{\cos 0}{0+2}$ = $\dfrac{1}{2}$。
步骤 2：计算函数在 x=0 处的左极限
当 x<0 时，f(x) = $\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a-x}}{x}$。为了计算左极限，我们需要求 $\lim_{x\to 0^-} \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a-x}}{x}$。
为了简化这个极限，我们使用有理化的方法，即乘以共轭表达式：
$\lim_{x\to 0^-} \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a-x}}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a}+\sqrt{a-x}}$ = $\lim_{x\to 0^-} \dfrac{a-(a-x)}{x(\sqrt{a}+\sqrt{a-x})}$ = $\lim_{x\to 0^-} \dfrac{x}{x(\sqrt{a}+\sqrt{a-x})}$ = $\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a-x}}$ = $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$。
步骤 3：确定函数在 x=0 处连续的条件
为了使函数在 x=0 处连续，左极限必须等于函数在 x=0 处的值，即 $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$ = $\dfrac{1}{2}$。解这个方程，得到 $\sqrt{a}$ = 1，从而 a = 1。
根据函数定义，当 x=0 时，f(x) = $\dfrac{\cos x}{x+2}$。因此，f(0) = $\dfrac{\cos 0}{0+2}$ = $\dfrac{1}{2}$。
步骤 2：计算函数在 x=0 处的左极限
当 x<0 时，f(x) = $\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a-x}}{x}$。为了计算左极限，我们需要求 $\lim_{x\to 0^-} \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a-x}}{x}$。
为了简化这个极限，我们使用有理化的方法，即乘以共轭表达式：
$\lim_{x\to 0^-} \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{a-x}}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a}+\sqrt{a-x}}$ = $\lim_{x\to 0^-} \dfrac{a-(a-x)}{x(\sqrt{a}+\sqrt{a-x})}$ = $\lim_{x\to 0^-} \dfrac{x}{x(\sqrt{a}+\sqrt{a-x})}$ = $\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a-x}}$ = $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$。
步骤 3：确定函数在 x=0 处连续的条件
为了使函数在 x=0 处连续，左极限必须等于函数在 x=0 处的值，即 $\dfrac{1}{2\sqrt{a}}$ = $\dfrac{1}{2}$。解这个方程，得到 $\sqrt{a}$ = 1，从而 a = 1。