已知当x→0时f(x)=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则( ).A. k=1，c=4B. k=1，c=-4C. k=3，c=4D. k=3，c=-4

考查要点：本题主要考查等价无穷小的判定方法，涉及泰勒展开或洛必达法则的应用。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，若$f(x)$与$cx^k$是等价无穷小，则需满足$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{cx^k} = 1$。
关键步骤：

1. 展开$f(x)$：将$f(x) = 3\sin x - \sin 3x$展开为泰勒级数，找到其最低次非零项；
2. 确定$k$和$c$：通过比较$f(x)$的主部与$cx^k$的主部，确定$k$和$c$的值。

泰勒展开法

1. 展开$\sin x$和$\sin 3x$：
   $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots, \quad \sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{6} + \cdots = 3x - \frac{9x^3}{2} + \cdots$
2. 计算$f(x)$：
   $f(x) = 3\sin x - \sin 3x = 3\left(x - \frac{x^3}{6}\right) - \left(3x - \frac{9x^3}{2}\right) = 4x^3 + \cdots$
3. 比较主部：
   $f(x)$的主部为$4x^3$，因此当$k=3$且$c=4$时，$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{cx^k} = 1$。

洛必达法则验证

1. 设定极限形式：
   $\lim_{x \to 0} \frac{3\sin x - \sin 3x}{cx^3} = 1$
2. 三次应用洛必达法则：
   • 第一次求导：分子为$3\cos x - 3\cos 3x$，分母为$3cx^2$；
   • 第二次求导：分子为$-3\sin x + 9\sin 3x$，分母为$6cx$；
   • 第三次求导：分子为$-3\cos x + 27\cos 3x$，分母为$6c$。
3. 代入$x=0$：
   $\lim_{x \to 0} \frac{-3\cos x + 27\cos 3x}{6c} = \frac{-3 \cdot 1 + 27 \cdot 1}{6c} = \frac{24}{6c} = \frac{4}{c} = 1 \implies c = 4$

综上，$k=3$，$c=4$，对应选项C。